Forum : exercices :
Un train d'enfer !

Bonjour à tous !

Voici un problème ouvert à propos de la trajectoire d'un train.

citation :

Il s'agit de me donner l'équation de la meilleure trajectoire au niveau du virage (voir déssin). Les seules contraintes sont : f'(-1) = -1 et f'(1) = 1       J'ai fait ensuite un « programme» (excel) qui simule la trajectoire (avec 2000 mesures) et lui attribu des points. Attention : Plus vous avez de point plus la trajectoire est mauvaise, et plus vous avez un risque de dérailler. J'établirai ensuite un classement, avec les meilleures trajectoires.

     Vous  sans doute allez me dire, qu'il est tout simple de raccorder un bout de droite à un autre par un arc de cercle.
Mais la force centrifuge dans le train passerai soudainement de 0 à 20% du poids (c'est la limite conseillée).
Ce qui déséquilibrerai le train et risquerai même de le faire dérailler.

      C'est pourquoi, les ingénieurs tracent le plus souvent les trajectoires à partir d'une parabole cubique…
L'inclinaison des rails pourrait annuler cette force centrifuge, mais les trains d'entretien qui sont lourds en lents
risqueraient de se renverser à l'intérieur du virage.C'est pourqoi elle ne dépasse jamais 135mm...

La meilleure trajectoire est celle où la force centrifuge (c'est à dire le rayon des cercles tangents) croit puis décroit de façon linéaire.
Pour ceux qui souhaite trouver son équation paramétrique bon courage.
Surtout n'hésitez pas à proposer.

*si vous voulez des informations sur le « programme »  je suis à votre disposition.

salut MV

on suppose que le train garde une vitesse constante pendant tout le virage ?

Oui bien sûr! (comme tout les trains aujourd'hui).
Surtout n'hésite pas à proposer.

Bonjour.

Pas besoin de blanquer.
Exact, alors donne-moi l'équation de cette droite ?
Je crois que c'est assez complexe...

Voici un lien assez complet :



Si tu veux le calcul explicite, j'essayerai demain de voir ca dans mes cours, mais cela nécessite quelques connaissances en théorie des courbes.

(tu n'aurais pas lu par hasard un article dans le magazine La Recherche ? )

Bonjour.

Je me permet de rajouter un autre lien, ou il est question de radioïdes, c'est à dire des courbes ayant un point de courbure nulle, permettant donc de raccorder des segments de droite entre eux.

citation :
(tu n'aurais pas lu par hasard un article dans le magazine La Recherche ? )

Si
J'attend tes calculs avec impatience...

J'essaye d'appliquer les formules pour le cas précis, mais j'ai encore un peu de mal avec certains calculs.
Mais tu es a quel niveau d'études, ton profil mentionne la 1ère, ca risque alors de te perdre un peu, si je commence à parler d'intégrales, de courbes paramétrées, d'abscisses curvilignes ...

bonjour Matovitch
trop compliqué pour moi ton exercice ,je sais juste raccorder deux voies de chemin de fer en utilisant un polynome d' Hermite de degré 3

Allez! Je ne le dirai jamais assez! Donne la droite, tu pourra toujours l'améliorer plus tard veleda...

Pourquoi parle tu d'une droite ?
La courbe recherché n'a rien d'une droite

Exact, mauvais terme...
Remarque, on peut dire qu'une courbe est une droite en changeant de géométrie.

Le polynome d'Hermitte qui s'adapte à la situation est
Mais, il y a un gros problème de courbure au niveau des points de raccord.
Il faut que je poursuive mes calculs pour la spirale de Cornu, j'y suis presque

Voilà les points (plus tu as de point plus c'est mauvais ) : 113753947,6

_{Courage pour la spirale}

J'ai un polynome un peu meilleur :


Pour la spirale, je remets ca à demain, je me suis perdu dans les calculs, en voulant simplifier l'équation, je l'ai plus compliquée qu'autre chose

Ah c'est déjà mieux : 78953082,54

bonsoir Matovich

Relis bien l'ennoncé, j'ai bien expliqué que relier les 2 droites par un arc de cercle était une mauvaise solution...

citation :
Mais la force centrifuge dans le train passerai soudainement de 0 à 20% du poids (c'est la limite conseillée), les passagers seraient désélibrerés et le train risquerai même de dérailler.

J'ai mené jusqu'au bout les calculs sur la spirale, malheureusement, l'expression analytique reste trop complexe pour être rentrée dans un tableur comme Excel, et de plus, je ne connait que une paramétrisation de la courbe, mais elle n'est pas sous la forme d'un graphe de fonction.

Néanmoins, je peux construire, par calcul numérique sur ordinateur, un fichier sous formes de 2 colonnes, l'une avec des abscisses, et l'autre avec les ordonnées correspondantes.
J'ai vu que tu as besoin de 2000 mesures sur l'intervalle [-1;1]. Je suppose que les points de mesure sont répartis de manière uniforme, avec un pas de 10^-3.

J'espère que tu pourra tirer quelque chose de ce fichier texte :



Si tu souhaite avoir ces mesures sous un autre format, n'hésites pas à me demander

(J'espère que ce tracé sera bien nôté, j'y ai consacré du temps moi )

Arkhnor.

Bonjour AK!
Tu pourrais me donner juste l'ordonnée s'il te plait...

Merci d'avance!

Voila le nouveau fichier : (la première ligne correspond à -1.00, et la dernière à 1.00, il y a donc 2001 lignes).



Mais en y reflechissant un peu mieux, j'ai fait une petite étourderie, donc ceci n'est pas mon dernier mot

Bonjour matovitch

Alors, que donne ma courbe ?

Je compte poster la suivante (et normalement dernière ) ce soir, ou demain matin au plus tard.

Salut,

Un petit programme de regression me donne un polynome de degré 2, j'explose le score non?

Ca y est !!!
Ma courbe est terminée, je poste le nouveau fichier texte, sous le même format que l'ancien, une seule colonne avec les ordonnées, de -1.000 à 1.000, donc 2001 mesures.



Sur ce coup-ci, je suis content de moi, tout concorde !

Merci beaucoup matovitch pour ce défi qui m'aura occupé inteligemment pendant quelques jours

N'hésitez surtout pas à participer, que l'on compare nos différents résultats

D'ailleurs je me demande si l'équation d'une asymptote dégénérée ne serait pas une bonne approximation?

Je ne sais pas trop, mais ce dont je suis sur, c'est que si l'on connait la courbure, on peut déterminer la courbe à un déplacement près, et c'est ce que j'ai fait

Oui, je viens d'ouvrir ton fichier texte , joli

moi j'ai un truc de beaucoup plus approximatif, je post l'image

Merci du compliment

Dommage que l'expression analytique de la courbe de Cornu soit trop complexe, j'ai du faire appel à de l'analyse numérique pour trouver des valeurs approchés (avec une précision de 10^-8 assurée)

Il va falloir que je trace la courbe avec gplot, histoire de voir son allure

lol alors voici le truc hideux que je trouve

trés grossier



Je vous avais prévenus..........

Bonjour à tous !
En fait, je me suis aperçu que mon programme n'était pas si bon que ça...
Vous auriez une idée ?
Je vais réfléchir...merci à tout les deux pour l'intérêt que vous portez à ce problème.

En quoi consister ton programme ?

J'ai peut-etre une idée :
Tu pourrai faire un programme qui calcule la courbure aux 2000 points de mesure, puis qui trace le graphe de la courbure, pour vérifier s'il elle a bien un comportement linéaire

hello

vu la nature de la courbe (pas de point d'inflexion), tracer toutes les tangentes aux différents points fournirait la courbe elle-même, non ?

Tu parle pour le problème, ou pour le programme de matovitch, mikayaou ?

Si c'est pour le programme, je pense que matovitch veut vérifier si la courbe que l'on obtient satisfait aux conditions de courbure qu'il a imposé. Pour cela, si j'ai bien compris, il évalue notre fonction en 2000 points équirépartis, et calcule la courbure. (la courbure est relié aux dérivées première et seconde, pour un graphe de fonction)

D'ailleurs, si certains ne la connaissent pas, je donne la formule pour la courbure d'un graphe d'une fonction 2 fois différentiable.

merci Arkhnor

De rien

Moi, aussi, à l'époque ou j'avais lu cet article sur La Recherche, je m'étais intéressé au sujet, et j'avais mené quelques calculs (comme calculer la courbure d'une ellipse, d'une parabole, etc ...)

Et puis, paf, deux mois plus tard, j'abordais ça en cours

En fait, voici ce que je faisais :
Je calculait la dérivée sur les 2000 valeurs
Puis la tangente à la dérivée, j'en déduisais ainsi le rayon de courbure moyen entre les 2000 points.
Et enfin, je mettait le tout dans une petite formule, pour imiter l'inertie (ou plutôt le déséquilibre des personne), et ainsi, je pénalisais les courbes dont le rayon de courbure croissait où décroissait trop rapidement.

Voilà, dites moi ce que vous en pensez.
Le problème est que les variation, ce font par rapport à l'axe des abscisse, et non par rapport à la courbe.

En effet, la courbure doit varier linéairement en fonction du temps, c'est à dire en fonction de la longueur de la courbe, le train avancant à vitesse constante. Or, tu considère la progressions suivant les abscisses.

Je vais y réflechir un peu, je t'en reparles des que j'ai une idée

de plus, quel est ton indicateur pour "le rayon de courbure croissait où décroissait trop rapidement" ?

Merci ! Moi aussi, je vais réfléchir de mon côté, mais j'ai pas trop le temps...(bac de français)
Mais je te fais confiance, tu as l'air de t'être interessé au problème.
Je ne connaissais pas la formule de courbure (je suis en première).
Sinon on pourrait adopter la notation : f°

En fait, je donnais une sorte d'inertie, je l'ai accentuée pour que l'on voit la différence entre les bonnes et les mauvaises courbes.
Comme ça :



Comme tu le remarque, j'ai mis une valeurs absolue, pours que même lorsque la courbure diminue trop fortement on gagne des points...

Bonjour.
Je vais quand même poster l'expression analytique de ma solution, qui est sous la forme d'une courbe paramétrée.

citation :

Je pose Je pose ensuite f est une isométrie du plan affine euclidien, c'est une rotation d'angle dans le sens trigonométrique direct autour de l'origine, suivie d'une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, suivie d'une translation de vecteur (1, 1). Je pose , pour et finalement : , pour . Le support de d est la trajectoire du train comprise entre les abscisses 0, et 1. Comme la trajectoire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, on obtient facilement la trajectoire pour les abscisses négatives.

Voila, peut-etre que plus tard le posterai la démonstration des propriétés de d, comme son espace tangent aux points de raccord, et l'évolution linéaire de sa courbure.