Dérivation- Paraboles Tangentes

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Dérivation- Paraboles Tangentes

Posté le 09-06-08 à 01:02

Posté par mrousset

Bonjour, je m'appelle Martin et je suis nouveau sur le forum.
J'ai un gros problème avec un exo:
Dans un plan muni d'une repère orthonormal, on considère les paraboles tangentes à la première bissectrice en o, origine du repère. Démontrer que les sommets de ces paraboles appartiennent tous à une même droite dont on indiquera une équation.

S'il vous plaît aidez-moi à comprendre comment faire mon exo

Merci en avance !

re : Dérivation- Paraboles Tangentes

Posté le 09-06-08 à 01:44

Posté par Nightmare

Bonsoir,

Je pense que pour cet exercice on ne considère que la famille de parabole qui représentent les fonctions du type $3$\rm f : x\to ax^{2}+bx+c$

L'équation à l'origine de la tangente à une parabole est alors $3$\rm y=f'(0)x+f(0)$

Or $3$\rm f'(x)=2ax+b$
Donc l'équation devient $3$\rm y=bx+c$

Si cette tangente est la première bissectrie alors c=0 et b=1

Donc déjà, les paraboles qui sont tangentes à la première bissectrice à l'origine ont pour équation $3$\rm y=ax^{2}+x$

On veut montrer que le lieu des sommets de ces paraboles est une droite.

Il ne serait pas mauvais de rappeler que le sommet d'une parabole est le point où la tangente est horizontale, donc de coefficient directeur nulle. C'est donc un point en lequel la dérivée s'annulle.

Or $3$\rm \frac{d}{dx} ax^{2}+x=2ax+1$
Ainsi la dérivée est nulle si et ssi $3$\rm x=-\frac{1}{2a}$

Dans ce cas, $3$\rm y=a\times \frac{1}{4a^{2}}-\frac{1}{2a}=\frac{1}{4a}-\frac{1}{2a}=-\frac{1}{4a}$

Les sommets des paraboles sont donc les points de coordonnées $3$\rm $-\frac{1}{2a},-\frac{1}{4a}$$

Ils sont donc tous sur la droite d'équation $3$\rm y=\frac{1}{2}x$

MERCI !!

Posté le 09-06-08 à 01:55

Posté par mrousset

Salut de nouveau !
Franchement j'y avais pas pensé...
SUPER MERCI !!! Vous répondez très rapidement dis-donc ! MERCI !!

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