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Matrices et projecteur
Voila l'énoncé du probleme:
Soit A
Mn,p(K) et BMp,n(K).
demontrer que AB est la matrice d'un projecteur de rang p ssi BA=Ip
Voila ma réponse:
Soit E=Kp et F=Kn, deux K-ev de dimension finie et B et C leur bases respective.
On considere les applications lineaires fL(F,E) et gL(E,f) canoniquement associées aux matrices A et B respectivement.
Notons A=MatC,B(f) et B=MatB,C(g)
Alors AB=MatB(f
g)
Puis (AB)2=Ab
(fg)2=fg
.Supposons (fg)2 et rg(fg)=p
Alors (fg)2=fg (fg)2-fg=0
fgfg-fg=0
f(fg-IdE)g=0 (1)
voila c'est ici que les problemes commencent je croit que pour ecrire la derniere ligne faut prouver que f et surjective et g injective (je croit que pour cela faut utiliser que rg(fg)=p et la formule rg(fg)
(rg(f),rg(g)) mais je vois pas trop comment)
La derniere ligne nous permettrait de dire que:
fg-IdE=0
BA=Ip (2)
MAis comment justifier pour passer de (1) a (2)
Pour la reciproque je vais y reflechir
Merci de bien vouloir m'aider.
Remarque importante: J'ai mis des sigma a la place des "rond" car je ne trouvais pas le symbole adequate
Salut 
Tu te compliques un peut l vie non?
Supposons que BA=Ip
On a
Donc (AB) est bien la matrice d'un projecteur de rang p.
Merci Nightmare de m'avoir repondu aussi vite.
Je sais pas si je me complique la vie mais si je fais une démonstration par double inclusion faut partir des deux "sens".
Au passage merci pour la reciproque tu confirme ce que je pensais
j'ai vraiment un probleme sur les deux points indiqués dans mon post.
Salut
Tu te compliques un peut l vie non?
Supposons que BA=Ip
On a
(AB)2=ABAB=A(BA)B=AIpB=Ab
Donc (AB) est bien la matrice d'un projecteur de rang p.
je suis d'accord que BA est de rang p mais AB ne l'est pas nécéssairement.
Bonjour
Voilà une solution du côté manquant. Supposons que AB soit un projecteur de rang p. On sait qu'il existe une base de Kn telle que la matrice de AB par rapport à cette base soit Ip dans le coin en haut à gauche et des 0 ailleurs. En écrivant A et B en blocs, on a alors
De A1B1=Ip on déduit que A1 est inversible et que B1=A1-1; mais alors de A1B2=0, on déduit que B2=0.
Et, oh merveille,
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