démonstration de lois de probabilité
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démonstration de lois de probabilité
Posté le 09-06-08 à 12:59
Posté par 
Lara87 Lara87
Bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait me donner la démonstration simple de l'espérance et de la variance de la loi de binomiale et de la loi normale?
Merci par avance
Lara
Lara87 Lara87Bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait me donner la démonstration simple de l'espérance et de la variance de la loi de binomiale et de la loi normale?
Merci par avance
Lara
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:05
Posté le 09-06-08 à 13:05Posté par orelo orelo
Bonjour, pour la loi binomiale
E(X)=somme( k * (k parmi n) p^k * (1-p)^(n-k) , k de 1 à n)
utiliser k*(k parmi n)= n*(k-1 parmi n-1)
puis sortir np de la somme, et enfin le binome de newton donne
E(X)=np
orelo oreloBonjour, pour la loi binomiale
E(X)=somme( k * (k parmi n) p^k * (1-p)^(n-k) , k de 1 à n)
utiliser k*(k parmi n)= n*(k-1 parmi n-1)
puis sortir np de la somme, et enfin le binome de newton donne
E(X)=np
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:10
Posté le 09-06-08 à 13:10Posté par orelo orelo
pour la variance même principe en utilisant:
V(X)= E(X²)-E(X)²
= E(X(X-1))+E(X)-E(X²)
il faut développer E(X(X-1))
on retrouve
V(X)=np(1-p)
toujours avec le binôme de newton
orelo orelopour la variance même principe en utilisant:
V(X)= E(X²)-E(X)²
= E(X(X-1))+E(X)-E(X²)
il faut développer E(X(X-1))
on retrouve
V(X)=np(1-p)
toujours avec le binôme de newton
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:17
Posté le 09-06-08 à 13:17Posté par orelo orelo
il faut faire un changement de variable dans E(X) du type k'=k-1 pour retrouver une somme de 0 à n-1
(et k'=k-2 pour V(X)...)
orelo oreloil faut faire un changement de variable dans E(X) du type k'=k-1 pour retrouver une somme de 0 à n-1
(et k'=k-2 pour V(X)...)
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:42
Posté le 09-06-08 à 13:42Posté par orelo orelo
bé je regarde sur mon bouquin...
donc E(X) c'est l'intégrale de - inf à +inf de x f(x) avec f(x)=...
l'existence est assurée car x f(x) négligeable devant (1/x²) donc intégrale de riemann...
x f(x) est impaire donc E(X)= 0 c'est fini
orelo orelobé je regarde sur mon bouquin...
donc E(X) c'est l'intégrale de - inf à +inf de x f(x) avec f(x)=...
l'existence est assurée car x f(x) négligeable devant (1/x²) donc intégrale de riemann...
x f(x) est impaire donc E(X)= 0 c'est fini
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:44
Posté le 09-06-08 à 13:44Posté par orelo orelo
pour la variance l'existence pour la même raison, et il faut faire une intégrale par partie en posant u= x et v'= e*exp(-x²/2)...
orelo orelopour la variance l'existence pour la même raison, et il faut faire une intégrale par partie en posant u= x et v'= e*exp(-x²/2)...
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:47
Posté le 09-06-08 à 13:47Posté par Lara87 Lara87
la je pense que tu m'as donné la démo de l'espérance de la loi normale centrée réduite.
car pour la loi normale l'espérance c "m". et justement je ne sais pas comment on fait pour la trouver.
Lara87 Lara87la je pense que tu m'as donné la démo de l'espérance de la loi normale centrée réduite.
car pour la loi normale l'espérance c "m". et justement je ne sais pas comment on fait pour la trouver.
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:50
Posté le 09-06-08 à 13:50Posté par Lara87 Lara87
et la variance c 'est 2écart-type au carré sur racine carré de pi * gamma de 3/2
Lara87 Lara87et la variance c 'est 2écart-type au carré sur racine carré de pi * gamma de 3/2
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 13:54
Posté le 09-06-08 à 13:54Posté par orelo orelo
ok, en fait (dans le bouquin, la loi normale je l'ai jamais utilisée...)
ils montrent que si X = N(m, sigma) alors (X-m)/sigma est une loi normale centrée réduite donc X=m
orelo orelook, en fait (dans le bouquin, la loi normale je l'ai jamais utilisée...)
ils montrent que si X = N(m, sigma) alors (X-m)/sigma est une loi normale centrée réduite donc X=m
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 14:04
Posté le 09-06-08 à 14:04Posté par orelo orelo
il y a peut être une différence de notation...
f(x)=(1/(sigma*racine (2.pi))) exp(-(x-m)²/(2sigma²))
si ça peut t'aider...
E(X)=m
V(X)=sigma²
orelo oreloil y a peut être une différence de notation...
f(x)=(1/(sigma*racine (2.pi))) exp(-(x-m)²/(2sigma²))
si ça peut t'aider...
E(X)=m
V(X)=sigma²
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 14:42
Posté le 09-06-08 à 14:42Posté par robby3 robby3
Salut,
suivant la loi normale )
on a=\frac{1}{\sigma\sqrt 2\pi} \Bigint_R x.exp(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}) dx=\frac{1}{\sigma\sqrt 2\pi} \Bigint_R (y+m) exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2}) dy \\ ou y=\frac{x-m}{\sigma} \\ )
donc=\frac{1}{\sigma\sqrt 2\pi} \Bigint_R y.exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2}) dy +\frac{m}{\sigma.\sqrt 2\pi} \Bigint_R exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2}) dy)
la premiere integrale est nulle car on integre une fonction impaire sur R et la 2emevaut m car on integre une densité de probabilité.
d'ou=m)
.
pour la variance,c'est un peu le meme principe,
il te suffit de calculer)
...en faisant le changement de variable 
robby3 robby3Salut,
on a
donc
la premiere integrale est nulle car on integre une fonction impaire sur R et la 2emevaut m car on integre une densité de probabilité.
d'ou
pour la variance,c'est un peu le meme principe,
il te suffit de calculer
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 09-06-08 à 17:57
Posté le 09-06-08 à 17:57Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Pour la première, tu écris
où )
; tu vois la binomiale comme une somme de bernoulli indépendantes en montrant que )
.
Le calcule de l'espérance est très rapide par la suite via la relation![\Large{\mathbb{E}[X]=\Bigsum_{k=1}^n\mathbb{E}[X_k]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{E}[X]=\Bigsum_{k=1}^n\mathbb{E}[X_k])
Sauf erreur!
H_aldnoer H_aldnoerPour la première, tu écris
Le calcule de l'espérance est très rapide par la suite via la relation
Sauf erreur!
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 01-12-08 à 21:20
Posté le 01-12-08 à 21:20Posté par seb1122 seb1122
Robby3, j'ai l'impression que le changement de variable que tu as fait, c'est y=x-m et non y=(x-m)/sigma
seb1122 seb1122Robby3, j'ai l'impression que le changement de variable que tu as fait, c'est y=x-m et non y=(x-m)/sigma
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 01-12-08 à 21:29
Posté le 01-12-08 à 21:29Posté par seb1122 seb1122
et du coup la première intégrale est égale à 0 ==> OK
mais la 2ème ????, je ne comprends pas comment tu as fait
seb1122 seb1122et du coup la première intégrale est égale à 0 ==> OK
mais la 2ème ????, je ne comprends pas comment tu as fait
re : démonstration de lois de probabilité Posté le 01-12-08 à 23:06
Posté le 01-12-08 à 23:06Posté par robby3 robby3
>exact
tu as m x une densité de probabilité
robby3 robby3Citation :
Robby3, j'ai l'impression que le changement de variable que tu as fait, c'est y=x-m et non y=(x-m)/sigma
Robby3, j'ai l'impression que le changement de variable que tu as fait, c'est y=x-m et non y=(x-m)/sigma
>exact
Citation :
mais la 2ème ????, je ne comprends pas comment tu as fait
mais la 2ème ????, je ne comprends pas comment tu as fait
tu as m x une densité de probabilité
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