exo sur les espaces euclidiens

Posté par mini-loup mini-loup

Bonjour à tous, j'ai un exo à faire sur les espaces euclidiens et je ne sais pas trop par où commencer. Voici l'énoncé:
Soit f O(E)on rappelle que Inv(f)=(ker-id) et Inv-(f)=ker(f+id)
montrer que Im(f-id) est orthogonal à Inv(f)
et en déduire que Im(f-id)=Inv(f)orthogonal
et que Inv-(f) Im(f-id)

Si vous pouvez m'aider, je vous remercie d'avance.

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Eh bien on revient à la définition, comment montre-t-on que deux espaces sont orthogonaux?

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

>Jord Tu as compris quelque chose à cet énoncé? Inv(f)=(ker-id)

Posté par mini-loup mini-loup

je me suis trompé c ker(f-id)
sinon pour montrer que 2 espaces sont orthogonaux il faut montrer que pour tout vecteur x de l'un des espaces et tout vecteur y de l'autre, x et y sont orthogonaux. Mais la je vois pas comment appliquer ça.

Posté par Nightmare Nightmare

J'ai décrypté, je pense qu'il parle de Ker(f-Id) et Ker(f+Id).

Posté par Nightmare Nightmare

Eh bien réfléchit un peu

x est dans Ker(f-Id)
On sait donc que f(x)=x

y est dans Im(f-id) donc il existe t tel que f(t)-t=y

Posté par mini-loup mini-loup

ah ok j'ai compris, merci beaucoup pour cette aide précieuse.

Posté par mini-loup mini-loup

pour la 2e partie de l'énoncé (en déduire que Im(f-id)=Inv(f)orthogonal
et que Inv-(f)  Im(f-id)) je n'y arrive pas non plus, pouvez-vous m'aider?
merci

Posté par Nightmare Nightmare

tu sais déjà qu'ils sont orthogonaux, il te reste plus qu'à montrer qu'ils sont supplémentaires. Un argument de dimension suffira.

Pour l'autre c'est exactement la même chose alors fait un petit effort...

Posté par mini-loup mini-loup

Ok merci, c'est vrai que j'ai un peu abusé de votre aide c'était pas très dur. J'essairai de faire mes prochains exos tout seul.
Merci

Posté par mini-loup mini-loup

j'ai rendu l'exo à mon prof et pour justifier que Im(f-id)=Inv(f)orthogonal  j'ai dis utilisé le théorème durang mais il me dit qu'il manque quelque chose et je ne vois pas quoi