Bonjour,
Un petit exercice en guise de révisions pour le bac.
Chapitres: Limites,Continuité,Dérivation
---------------------------------------------------
Dans un repère orthonormal direct, soit A le point de coordonnées (1;0), la droite d'équation x=1 et le cercle de centre A de rayon 1.
a)Soit d une droite d'équation avec t un réel positif, on appelle I1 et I2 les points d'intersection de d avec et
Exprimer en fonction de t les coordonnées de I1 et I2.
b)Soit M le point tel que
Exprimer en fonction de t les coordonnées x et y de M.
c)Exprimer t en fonction de l'abscisse x de M, puis démontrer que
Soit f la fcontion définie sur ]-1;1[ par
a)Etudier le sens de variation de f sur ]-1;1[ (on pourra vérifier que le signe de f' est le même que celui de -x²-x-1 sur ]-1;1[ )
b)Démontrer que la courbe représentative de f notée C admet une asymptote verticale.
c) f est-elle dérivable en 1? Préciser la tangente à C au point A(1;0).
d)Construire la courbe C dans un repère d'unités graphiques 2cm.
Soit g la fonction définie sur ]-1;1[ par
Construire la courbe C' de la fonction g dans le même repère que C.
Info:La réunion de C' et C est appelée strophoïde.
---------------------------------------------------
Bonne réflexion.
édit Océane : forum modifié
pour la question 1:
1)a. Delta inter d:
x = 1
y = tx , donc y = t, x = 1 ---> I1 (1;t)
Gamma inter d:
(x-1)² + y² = 1
y = tx , donc x²-2x +1 +t²x² = 1, donc x²(1+t²) -2x = 0
Donc x[(1+t²)x-2] = 0, donc x = 0 ou x = 2/(1+t²)
donc I2 (0,0) ou I2' ( 2/(1+t²);2t/(1+t²) )
(est ce normal qu'il y ait 2 pts d'intersection ?)
b. M(x;y)
OM (x;y) = I1I2 ( 2/(1+t²) - 1; 2t/(1+t²) - t)
donc x = (1 - t²)/(1+t²) et y = (t - t^3)/(1+t²)
c. donc x = (1 - t²)/(1+t²), donc (1+t²)x = 1 - t²
donc t²(x+1) = 1-x, donc t = racine[ (1-x)/(1+x) ]
Comme y = t*(1-t²)/(1+t²) = t*x,
alors y = x * racine[ (1-x)/(1+x) ]
je crois pas m'être trompé cependant je trouve un résultat qui cloche à la 2.
c'est résolu: c'est une erreur d'énoncé !
2)f(x) = x * racine[ (1-x)/(1+x) ]
f'(x) = 1* racine[ (1-x)/(1+x) ] + x * (-2 / (1+x)²) / 2racine [ (1-x)/(1+x) ]
f'(x) = [2 * (1-x)/(1+x) - 2x/(1+x)² ] / 2racine[ (1-x)/(1+x) ]
f'(x) = [2*(1-x)(1+x) - 2x ]/[ (1+x)² * 2racine[ (1-x)/(1+x) ] ]
or 2racine[ (1-x)/(1+x) ] positif pour x dans ]-1;1[
de même que (1+x)²
donc f' est du signe de 2*(1-x)(1+x) - 2x donc de 2 -2x² -2x donc de -x² - x + 1. (et non -x²-x-1)
le signe de -x² -x + 1 est positif entre -1 et 0,61803(environ) et négatif entre 0,61803 et 1 , donc f croît et décroit suivant que -x² - x + 1 est négatif ou positif.
b) lim f(x) quand x--> -1 :
x + 1 ---> 0, et x - 1 --> -2, donc racine[ (x-1)/(x+1)] --> + oo, donc f(x) --> - oo.
Donc x = -1 est une asymptote à la courbe.
yoyodada > il n'y pas deux possibilités pour mais bien une seule!
d'ailleurs tu remarqueras que
(0;0) n'est donc pas le couple solution!
pour la 2.c)
lim(h--> 0-) f(1+h) - f(1) / h
= lim(h--> 0-) (1+h)*racine[ -h/2+h] / h
= lim(h--> 0-) (1+h) * racine(-h) / [(racine(-h)*racine(-h)*racine(2+h) ]
= lim(h--> 0-) (1+h) / racine[-h²-2h]
or 1+h --> 1 quand h --> 0-
et -h² - 2h --> 0 quand h--> 0-
donc racine[-h²-2h] --> 0
donc (1+h) / racine[-h²-2h] --> +oo donc f n'est pas dérivable en 1.
Sa tangente est verticale donc, d'équation x = 1
Bonsoir mikayaou,
jolie! je l'avais en cartésienne sous la forme d'un "huit allongé" (c'est à dire un 8 qui prend la pose "infini" ).
Salut,
J'ai fait la partie un, je trouve comme yoyodada, je trouve l'exercice intéressant
Si on fait une figure on s'aperçoit que le couple (0;0) est bien solution, en effet, la droite d est linéaire donc elle passe par zéro quand au cercle da centre (1;0) et de rayon 1, il est claire qu'il passe par (0;0).
Il y'a a donc belle est bien deux solutions, car sinon la droite d serait tangente au cercle
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :