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Anneau quotient
Salut 
Je ne comprends pas bien en fait l'essence même des ensembles quotients ...
Par exemple, pour les groupes, on quotiente par un sous-groupe normal, pour les anneaux, on quotiente par un idéal.
Que signifie par exemple la notation A/I ?
Je connais les lois pour que (A/I,+,.) soit un anneau, et qu'un élément de A/I s'écrit a+I avec a dans A
Mais qu'est-ce que cela veut dire ?
Est-ce que a+I est la classe d'équivalence de a ?
J'ai déjà entendu des trucs du genre : "on tue les éléments de I" ...
Bref, merci de m'éclairer !
A+
Je crois qu'il faut considérer l'application de A dans A/I qui à a associe a+I
est alors la classe d'équivalence de a
Peut-on confirmer ?
Je crois que c'est bien ça en fait !
Mais le truc avec "on tue les éléments de..." reste encore obscur
En fait je dis des bêtises.
On considère plutôt la relation d'équivalence R définie par :
équivaut à
L'ensemble A/R est alors l'ensemble des classes d'équivalence de A suivant R, et c'est ça qu'on note A/I
salut FF,
oui tu as déjà tout dit
pour cette histoire de génocide je ne comprends pas vraiment ce que tu voulais dire, mais sinon c'est comme pour les groupes abéliens.
De ton anneau , on peut se concentrer sur le groupe abélien
, un idéal
est déjà un sous-groupe additif de
, on peut le quotienter pour avoir le groupe quotient
.
Le reste de la définition de l'idéal permet de passer la multiplication au quotient, ie,
pour deux éléments on souhaite aussi avoir
.
On considère l'application dite surjection canonique. Pour tout
on a que
. Ce qui explique que l'on "tue" les éléments de
.
De manière générale .
Sauf erreur.
salut romu,
oui effectivement, je viens de me résumer seul ... tant mieux ^^
En fait A/I est A quotienté par une relation d'équivalence, donc A/I est l'ensemble des classes d'équivalence de A suivant R
Sinon, oui, comme I est un idéal, et que A est un anneau, alors (I,+) est un sous groupe de (A,+) abélien, et il est donc normal. C'est pour cela qu'il est légitime de quotienter par I.
ok ok donc tout devient clair
par définition de la surjection canonique s(a) donne la classe d'équivalence de a.
Si s(a)=s(0), alors a et 0 sont équivalents, donc a est dans O+I=I.
Sinon comment se passent pour vous les partiels ?
Moi je passe la probabilité en rattrapage.
Voila pourquoi en ce moment on voit souvent mon pseudo associé à des topics de probabilité!
Salut tout le monde,
romuald >>
pour cette histoire de génocide je ne comprends pas vraiment ce que tu voulais dire, mais sinon c'est comme pour les groupes abéliens.
Tu éveils ma curiosité là!
J'aimerais bien savoir comment tu les "vois" ces quotients dans ce cas. Enfin, si ce n'est pas un secret...
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