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Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements


terminaleLois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements

#msg1909135#msg1909135 Posté le 10-06-08 à 00:44
Posté par Profilclad_ask clad_ask

Bonjour à tous,

Je suis en pleine révision pour le BAC et je révise en ce moment les probabilités.
C'est un cours que j'ai eu en fin d'année mais j'ai malheureusement eu des problèmes donc je n'ai pas pu assister et suivre cette leçon...

J'ai bien compris le premier cours sur les probabilités (indépendance, etc...) mais je bloque complètement sur le deuxième cours (lois de probabilité). Ça fait déjà 1 h 30 que je suis face à la même feuille pour essayer de comprendre mais c'est sans succès... Je désespère.

Bref, je viens donc ici dans l'espoir de trouver quelqu'un qui pourrait m'expliquer les combinaisons et les arrangements car je n'y comprends rien. En ce qui concerne les lois de probabilités, je comprends un peu car ce sont des formules à apprendre (loi binomiale, etc...) mais pour le reste.

En fait, je vois que les combinaisons sont de la forme (n p) et c'est égal à [ n! / (n-p)! ]
Mais parfois, c'est égal à [ n! / (p!)*(n-p)!] et je ne sais pas du tout pourquoi. Quelle est la différence ? (mon professeur a parlé de jetons de couleur différente et de jetons de même couleur)

S'il vous plait, j'ai vraiment besoin de vos explications.

Merci beaucoup
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909152#msg1909152 Posté le 10-06-08 à 04:01
Posté par Profilpatrice rabiller patrice rabiller

Bonjour,

En gros, les combinaisons sont utilisées lorsqu'on ne tient pas compte de l'ordre des objets. La formule est \(\array{n\\p}\)=\frac{n!}{p!(n-p)!}. Ainsi, pour déterminer le nombre de "mains" de 5 cartes choisies dans un jeu de 32 (on ne tient pas compte de l'ordre des cartes) est \(\array{32\\5}\)=\frac{32!}{5!\times 27!}=201 376

En revanche, les arrangements eux, sont beaucoup plus nombreux parce qu'on tient compte de l'ordre du tirage : avec une même combinaison de 5 cartes on peut faire 5!, soit 120 arrangements différents. La formule est A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}. Ainsi le nombre d'arrangements de 5 cartes choisies parmi 32 est A_{32}^5=\frac{32!}{27!}=24 165 120.

Pour prendre un autre exemple, les tiercés dans l'ordre (arrangements de 3 chevaux pris parmi n)sont beaucoup plus nombreux que les tiercés dans le désordre (combinaisons de 3 chevaux pris parmi n). Il est donc beaucoup plus difficile de trouver le bon tiercé dans l'ordre que dans le désordre. Plus exactement, il y a 6 fois plus de possibilités de tiercés dans l'ordre que de tiercés dans le désordre.

Voila, j'espère avoir été clair
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re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909153#msg1909153 Posté le 10-06-08 à 04:16
Posté par ProfilLa-Berlue-hu-hu La-Berlue-hu-hu

Bonsoir à toi,
Si tu veux, on pourrait résumer toute la leçon par le schéma joint.
Tu as fait l'amalgame entre combinaison et arrangement mais j'espère que mes exemples te permettront de les différencier. Ce sont des exemples parmi les plus simples, mais la démarche reste la même pour savoir s'il s'agit d'une combinaison, d'un arrangement ou d'une p-liste. On se demande si l'ordre des éléments compte, et si c'est le cas, s'ils peuvent être répétés.
De manière générale, lorsqu'on te demande de calculer le nombre de p-liste, on retrouve dans l'énoncé la notion de successivité et de remise. Pour les arrangements, c'est successif et sans remise. Lorsqu'on cherche à te faire calculer le nombre de combinaisons, l'énoncé exprime une notion de simultanéité.

Exemple 1: la p-liste
Combien de numéros de téléphones longs de 9 chiffres peut-on faire avec les chiffres de 0 à 9?

Chaque numéro de téléphone est une p-liste de 9 chiffres pris parmi 10 chiffres (il faut faire attention au fait qu'il y a 10 chiffres, et non pas 9, de 0 à 9 ).
Est-ce que l'ordre compte lors de la composition d'un numéro? Oui, c'est donc soit le nombre de p-listes qu'il faut calculer, soit le nombre d'arrangements.
Peut-on retrouver plusieurs fois le même chiffre dans la composition d'un numéro? Oui, il faut alors calculer le nombre de p-listes. On doit "prendre" 9 chiffres parmi 10 chiffres, d'où, si tu veux, n=10 et p=9.
Donc le nombre de numéros de téléphone est de 109.

Exemple 2 : l'arrangement
Combien de tiercé peut-on composer dans une course de 20 chevaux?

Evidemment, pour un tiercé équestre, l'ordre des chevaux compte. Par contre, les chevaux ne peuvent pas se répéter: en effet, aucun des chevaux sortis de la course n'y retournera pour occuper deux ou plus places dans le tiercé. L'ordre compte donc, mais sans répétition des éléments: c'est un arrangement.

Chaque tiercé est un arrangement de 3 chevaux parmi 20 donc le nombre de tiercé est de 20!/(17!)=6840.

Exemple 3 : la combinaison
Combien de grilles de loto peut-on remplir pour être sur de gagner?

Au loto, l'ordre des numéros sortants ne compte pas. On coche 6 nombres mais 49 peuvent sortir donc chaque grille est une combinaison de 6 nombres parmi 49. En appliquant la formule, on trouve 13 983 816. Ce qui répond à la question existentielle de ma jeunesse "pourquoi les milliardaires n'achètent-ils pas en masse les tickets pour être certains de gagner beaucoup plus?"(ce serait beaucoup trop cher).


Ce ne sont que des exemples très simples mais qui m'ont aidé pour ma part à comprendre le principe général et puis après, "ça roule tout seul". En effet, pour les probas, on retrouve presque toujours dans les énoncés une histoire de jetons ou de boules (quels coquins que ces concepteurs d'énoncé ). Par contre, ne pas faire l'impasse dessus parce que les probas sont toujours coinçables en sujet de bac avec des intégrales ou suites.
N'hésite pas à chercher des cours à ce sujet sur le net parce que mes explications sont très peu théoriques (c-à-d, les définitions du style "une p-liste d'un ensemble est un p-uplet d'éléments de E") et je l'imagine, peut-être pas complètes parce que je ne suis qu'une élève.

Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909154#msg1909154 Posté le 10-06-08 à 04:18
Posté par ProfilLa-Berlue-hu-hu La-Berlue-hu-hu

Oh, euh, bonsoir Patrice. Désolée d'avoir posté après toi (et oui, ça me prend un quart d'heure à tapoter ).
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909163#msg1909163 Posté le 10-06-08 à 07:28
Posté par Profilclad_ask clad_ask

Un énorme merci à patrice rabiller et à La-Berlue-hu-hu d'avoir pris le temps de me répondre.

Existe t'il un autre terme que "p-liste" ? Car je n'ai jamais utilisé ce terme. Est-ce p-arrangement ?

Donc si je dois résumer :

- "p-liste" : avec ordre ; avec remise
- Arrangement : avec ordre ; sans remise
- Combinaison : sans ordre ; ["sans" ou "avec" remise] (je sais pas)

Je vais essayer de prendre l'exemple de mon professeur :

lorsque l'on a 3 jetons de couleur différente à placer sur un damier de 16 cases, c'est un arrangement donc : 16! / 13!

mais lorsque l'on a 3 jetons noirs à placer sur ce même damier, c'est une combinaison car l'ordre de compte pas donc 16! / 3!*13!

Je comprend un peu le principe des combinaisons/arrangements mais j'aimerais bien comprendre l'origine des formules.

Merci
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909168#msg1909168 Posté le 10-06-08 à 07:42
Posté par ProfilColl Coll Moderateur

Bonjour à tous,

Les mêmes explications données avec d'autres mots...

Message du 15/05 à 09 h 59 :

et dans le même topic, un lien donné par J-P : son message du 16/05 à 10 h 31

Bonnes lectures !

re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909178#msg1909178 Posté le 10-06-08 à 08:11
Posté par ProfilColl Coll Moderateur

La-Berlue-hu-hu >> Je vois que tu es connecté(e)

Je voulais te féliciter pour tes explications très claires et très bien présentées !

re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909187#msg1909187 Posté le 10-06-08 à 08:30
Posté par ProfilLa-Berlue-hu-hu La-Berlue-hu-hu

Merci énormément Coll, ça fait vraiment chaud au coeur! (Me reste à apprendre le latex, je l'aurais un jour...)

Citation :
Je trouve en effet que c'est une excellente idée de créer des chaînes de topics sur des sujets identiques ou très semblables

Je trouve également!

clad_ask, les formules sont expliquées dans le sujet donné en lien par Coll. Il est peut-être utile de les voir, car il paraît que ce genre de formules tombe assez souvent en ROC (par exemple (n p)=(n-1 p-1)+ (n-1 p)).
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909194#msg1909194 Posté le 10-06-08 à 08:39
Posté par ProfilLa-Berlue-hu-hu La-Berlue-hu-hu

J'oubliais (décidemment, ce soir, c'est la fête des oublis et des multi-post ).
Une p-liste peut avoir des éléments qui se répètent, lorsque les arrangements n'en ont pas. Un arrangement, c'est une p-liste dont tous les éléments sont distincts. C'est la raison pour laquelle dans le schéma, les p-listes sont dans la catégorie "avec répétition" et les arrangements dans la catégorie "sans répétition". Mais un arrangement EST une p-liste . (Une p-liste d'un ensemble E est un élément du produit cartésien Ep si tu as fait un peu de théorie des ensembles)
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg1909727#msg1909727 Posté le 10-06-08 à 18:11
Posté par Profilborneo borneo

Joli topic, je le mets dans mes favoris  

Pour calculer tout ça avec une casio, un très bon TD de B.Truchetet cliquez ici

A garder, car le mode d'emploi des casios est un cauchemar ...
thank's a lot#msg3493022#msg3493022 Posté le 27-02-11 à 21:23
Posté par Profillk_dz lk_dz

Merci énormement La-Berlue-hu-hu ,
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg3650357#msg3650357 Posté le 02-06-11 à 12:48
Posté par Profilregek regek

Bonjour tout le monde !  

Je suis moi aussi en révision pour le bac, et je vois les probabilités..

Si on me dit, si c'est une combinaison, un arrangement, ou une permutation, tout va bien !

Mais, par exemple ici j'ai deux exercices..  

1) Dans une compagnie, on veut choisir 4 sites parmi 15 qui sont susceptibles d'accueillir un centre de loisir. Combien de manières a t-elle de les choisir?

Au début j'ai mis combinaison.. Mais j'ai une éponse de 1365

J'ai essayé un arrangement, et la réponse est encore plus élevée.. 32 760

Je suis perdu.. Si quelqu'un peut m'aider un peu ce serait sympa !

Merci d'avoir pris la peine de me lire. Bonne journée !
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg3651047#msg3651047 Posté le 02-06-11 à 21:10
Posté par Profilborneo borneo

Bonjour,

alors déjà, pour réussir en probabilités, il faut commencer par comprendre ce qui se passe.

Tester au pif toutes les formules n'est pas la bonne méthode


Citation :
1) Dans une compagnie, on veut choisir 4 sites parmi 15 qui sont susceptibles d'accueillir un centre de loisir. Combien de manières a t-elle de les choisir?

Au début j'ai mis combinaison.. Mais j'ai une éponse de 1365

J'ai essayé un arrangement, et la réponse est encore plus élevée.. 32 760


L'ordre compte, ou pas ?
Il y a répétition, ou pas ?
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg3651053#msg3651053 Posté le 02-06-11 à 21:13
Posté par Profilborneo borneo

Au lieu de se braquer sur les formules (personnellement, je n'en connais aucune ), commence par du concret.

Appelle tes centres A B C D E F G H I J K L M N O

et donne des solutions qui conviennent. Tu y verras déjà bien plus clair.
re : Lois de probabilité - Combinaisons - P-arrangements#msg5031352#msg5031352 Posté le 20-02-14 à 09:55
Posté par Profilthmathma thmathma

Bonjour
Merci pour ce post et pour toutes ces explications.

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