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Notion d'irréductibilité
Salut 
On considère l'ensemble
Il faut que je démontre que est irréductible dans A mais qu'il n'est pas premier.
J'ai cette définition : est dit irréductible si p=ab implique que
ou
Donc j'ai déjà commencé par déterminer A*
Soit P dans A. P est inverible si il existe Q dans A tel que PQ=1
Puisque A est inclus dans , alors A est intègre. DOnc PQ=1 implique que le degré de P est nul et donc que P est un polynôme constant.
Donc les inversibles de A sont 1 et -1
Bon ensuite pour voir que X^2 est irréductible :
Faut-il partir de X^2=XX ?
Merci
OK! J'ai compris!
Comme les propiétés sur le degré n'ont pas changé, il faut voir ce qui se passe s'il existe des entiers a,b,c,d,e,f tels que
cf=0, entraine au moins un nul, pour fixer les idées, f=0.
Si c=0, on arrive à 4eb=1 ce qui est impossible. Donc c
0.
2ec=0 entraine e=0 et ad=1, entraine bien d=
1, donc X2 est bien irréductible.
Mais dans A on a et
donc l'idéal engendré par X2 n'est pas premier.
Merci Camélia !
J'aurai plusieurs questions.
POurquoi partir de X^2=(a+2bX+cX^2)(d+2eX+fX^2)
Bon je vois d'où sortent le 2b et le 2e, mais pourquoi partir de cela ?
Dans ton anneau, les coeff de X sont pairs. Pour qu'un produit de polynômes soit X2 ils sont de degrés 2,0 ou 1,1 ou 0,2, donc je suis partie un peu haut! mais comme ça a marché je n'ai pas amélioré! En fait, il faut éliminer le cas où les deux sont de degré 1.
Ok !
cf=0, entraine au moins un nul, pour fixer les idées, f=0.
Si c=0, on arrive à 4eb=1 ce qui est impossible. Donc
2ec=0 entraine e=0 et ad=1, entraine bien d=1, donc X² est bien irréductible.
Pourquoi 2ec=0 implique ad=1 ??
Non, 2ec=0 entraine e=0 puisque c est non nul, donc le deuxième polynôme est juste d. On doit bien avoir ad=1, avec a et d entiers!
Comme on a fixé f=0 et que e=0, alors on a X²=(a+2bX+cX²)d
Je ne vois pas pas pourquoi cela implique ad=1 
Une dernière question :
Plus haut j'ai donné :
p \in A est irreductible dans A ssi (p=ab implique ou
)
->Est-ce que cela doit-être vrai pour chaque décomposition de p ?
En effet, X²=X.X et X n'appartient pas à A*
Oui, bien sur! l'idée est que "irréductible" équivaut à "pas de factorisation autre que les inévitables, c'est-à-dire celles qui contiennent un inversible".
C'est bien pour ça qu'il est irréductible. Mais si tu ne dis que ça tu ne prouves pas qu'une décomposition est impossible!
Je pensais que si p=ab et a n'est pas dans A* et b n'est pas dans A* alors p n'est pas irréductible...
Oui, tu as raison! Mais quand tu écris X=XX et X n'est pas dans A*, tu as juste oublié que X n'est pas non plus dans A!
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