Forum : exercices :
Geométrie et inégalité :)

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Mon inégalité est bonne a toi de voir ton erreur

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Je sais pas démontrer (j'ai pas cherché ) l'inégalité mais le problème dans ce qu'a dit matovitch : inégalité triangulaire ?

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je vois pas ton truc, y'a ecrit image indisponible... La solution que j'ai n'est pas introuvable... elle est plutot simple d'ailleurs je trouve

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En fait, après avoir cherché infructueusement du côté ½= (a+b+c)/2  j'ai essayé de faire apparaître ce ½ dans l'expression du premier membre.

On commence par utiliser le truc dont je parlais en posant :
x=a+b-c             y=b+c-a        et       z=a+c-b
Par l'inégalité triangulaire, x  y  et z sont positifs.
On peut alors écrire :
a=(x+z)/2         b=(x+y)/2          et     c=(y+z)/2


a²+b²+c²+4abc= ((x+z)/2)² + ((x+y)/2)² + ((y+z)/2)²  +   (x+z)(x+y)(y+z)/2
                       = ((1-y)/2)²  +  ((1-z)/2)²  +  ((1-x)/2)²  +  (1-y)(1-z)(1-x)/2
Ce qui, après développement et réordonnement est égal à :

= ((x²+y²+z²)  + 2 (xy+ yz +xz))/4 -  xyz/2   + 1/4
= (( x+y+z)²)/4-  xyz/2  + 1/4
=1/2 - xyz/2
Ce qui est inférieur à 1/2 car xyz est supérieur à 0. On retrouve l'inégalité de départ.

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ca me semble bon, je ne sais pas si tu connais le nom de la transformation que tu as effectuée avec x=a+b-c etc, ca s'appelle la transformation de Ravi, et c'est très utile. J'ai cependant une solution plus courte (d'après mes souvenirs) que je posterai demain

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D'après l'inégalité triangulaire, et
D'ou
On dévellope pour arriver a

Comme on a
D'ou en reprennant les résultats précédents,
: