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Gauss anneau
Salut 
Je veux montrer que :
p réductible dans Z[I] équivaut à p est la somme de deux carrés.
J'ai montré que si p est la somme de deux carrés, alors p est réductible.
Auparavant, j'avais montré que les inversibles de Z[i] sont 1,-1,i,-i sauf erreurs ...
Bon, maintenant si je suppose p réductible et que p=ab
Alors a est dans Z[i]* et b est dans Z[i]*
Par conséquent, p ne peut valoir que 1,-1,i ou -i
Ensuite reste à montrer que ce sont bien la somme de deux carrés dans Z[i]
Mais je l'écris comment i comme somme de deux carrés ?
Merci
Ah non moi j'avais l'hypothèse p premier dans Z en plus !
Je ne comprends pas pourquoi p vaudrait 1,-1,i,-i ? p = ab avec a et b des entiers de Gauss non unitaires !
Salut kévin
Bah p est réductible donc p=ab implique que a est dans Z[i]* ou b dans Z[i]*
Donc a dans {-1,1,i,-i} ou b dans {1,-1,i,-i}
En l'écrivant, c'est vrai que cela ne veut pas dire que p vaut ce que j'ai dit.
EN tout cas si tu as une démo ^^
Bonjour
Le résultat est bien
Soit p est premier dans Z. Alors p est réductible dans A=Z[i] si et seulement si p est somme de deux carrées
Alors si p est réductible, il existe u et v dans A, non inversibles, tels que p=uv. Alors p2=|u|2|v|2. Tu as probablement déjà vu que inversible équivaut à "de norme 1", donc ici la seule possibilité est p=|u|=|v|, et c'est gagné!
Si p n'est pas supposé premier dans Z, il est déjà réductible dans Z, donc a fortiori dans Z[i]!
Ce qui est intéressant, c'est que des irréductibles de Z se décomposent dans Z[i].
Salut
Je vois pas trop pourquoi la seule possibilité est p=|u|=|v|
Tu as probablement déjà vu que inversible équivaut à "de norme 1"
Beh non, tu me l'apprends, mais c'est simple à démontrer.
Si m et n sont des entiers positifs mn=p2 et p premier, les seules possibilités sont m=1,n=p2; m=n=p; m=p2,n=1.
Si uv=1, on a |u| |v|=1, donc |u|=|v|=1.
Si p n'est pas supposé premier dans Z, il est déjà réductible dans Z, donc a fortiori dans Z[i]!
Ce qui est intéressant, c'est que des irréductibles de Z se décomposent dans Z[i].
Oui il est à fortiori réductible dans Z[i], mais comment montre-t-on qu'il se décompose en somme de deux carrés ? Car moi j'ai utilisé l'irréductibilité dans Z pour le montrer...
Merci
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