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Exo défi > Equation différentielle, polynôme

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En fait, Jord, j'aimerais voir tes démonstrations. J'ai commencé par montrer que si g tend vers 0 et si Re()<0 les solutions de y'-y=g tendent vers 0 (à l'infini). Déjà là je mérite une mention, car j'ai une démonstration très compliquée.

En gros, j'ai écrit qu'une solution f est de la forme et j'ai fait un découpage de l'intégrale... As-tu mieux?

De là, la récurrence est immédiate.

J'ai aussi une démonstration qui transforme l'équation du n-ème degré en système du premier degré, puis triangule la matrice compagnon de P et je finis en utilisant quand même le résultat prouvé au début.

Alors c'est comment ce que tu as?

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Non je n'ai pas mieux pour la première, je l'avais eu en khôlle cette année j'avais fait comme ça.

Pour la démonstration compliquée, elle a l'air intéressante.

Voici une solution :

On suppose que avec

alors, le vecteur est solution de l'équadiff ,

avec :

, et

Soit une base des solutions de l'équation homogène.

On a . Chaque peut être pris de la forme où est un certain polynôme.

On pose alors

et

on a .

forme une base de solution de l'équation

Ainsi, :


Donc V est solution sur R du problème .

Or, et donc est solution du même problème de Cauchy.
Le théorème d'unicité dit alors que :
et donc pour tout t réel, V(t) est inversible.

On cherche la solution de l'équation sous la forme où prend ses valeurs dans .

La méthode de la variation de la constante donne les solutions sous la forme :
.

De plus, .

par conséquent :
: .

Par ailleurs, on a où avec un certain polynôme.

Or, , . On en déduit .

Ainsi :


Revenons à et

En développant suivant la première ligne, on obtient à l'aide d'une récurrence :
.

On en déduit .

La matrice de A traduit dans la base canonique de un endomorphisme . De même B(t) traduit un vecteur .

Il existe une base de dans laquelle admet une matrice triangulaire supérieure se décomposant en produits de blocs diagonaux de la forme .

les forment la liste des valeurs propres de A; est la matrice identité d'ordre ; est une matrice nilpotente vérifiant .

En outre est l'exposant de dans .

Pour montrer que , on peut se ramener au cas où avec et N une matrice nilpotente d'ordre n.

Ainsi :


Soit continue telle que .

De ce qui précède, on a :


On introduit une norme || || sur :


On a :
.

De plus et

On vérifie alors facilement que :


De cela on en déduit que

et par conséquent, pour tout k dans {0,...,n-1} :