Forum : agreg :
e limite de (1+1/n)^n

Bonjour,

Est-ce que vous connaissez un livre où la démonstration de la cv de la suite de terme général (1+1/n)^n est écrite en détail?

Merci.

Mr Oeu(f)

Petite précision pour la nature de la démo :
"sans utiliser de DL et/ou la fonction ln"
par exemple comme celle proposée dans le Fraysse qui utilise la méthode croissance + majoration.

Mais la démonstration de la croissance de cette suite est un peu lourde dans cette référence.
Je me demande s'il n'y a pas une autre rédaction ou encore mieux une autre méthode.

Merci.

Mr Oeu(f)

hello,
une méthode très très simple:

On pose

avec tend vers , on remarque un superbe taux d'accroissement,
comme tend vers en
On a tend vers en donc tend vers en

Bonjour

Sans utiliser de logarithme, la méthode classique est de montrer que les trois suites

, et

convergent vers la même limite. C'est facile de voir que (u_n) et (v_n) sont adjacentes et même de montrer que leur limite commune, notée e, est irrationnelle.

Pour (w_n): On pose pour 2pn. On montre que

, que

et on en déduit que 0u_n-w_ne/2n.

Le théorème de conservation des em...bêtements étant ce qu'il est, je ne sais pas si ce que je te vends est meilleur que ce que tu avais déjà!

Merci Camélia.

C'est en effet ces suites qui sont utilisées.

On trouve un exercice avec les étapes de la démonstration dans le Terracher de Terminale S (edition 2002).

Par contre, je ne connaissais pas la démo que tu proposes à la fin avec
car dans le Fraysse (par exemple)
il a besoin de montrer que :
pour

or cette inégalité ne me plaît pas trop à cause de l'utilisation de la partie entière (pour choisir l'intervalle de validité de k ).
Il faut que je me perfectionne sur la partie entière.

Est-ce que tu connais de bon exercice pour travailler cet outil ... très utile?

Merci par avance.

Il y a bug dans mon message précédent.

Il faut lire "pour k entier naturel supérieur ou égal à 1 et inférieure ou égal à E(n/2)"
Je suis un peu rouillé en Latex!

Mea culpa!

Non, pas spécialement... Tous ceux que j'ai jamais eu à faire consistaient à bien écrire la définition...

Ok
Sinon, tu as trouvé la dernière inégalité dans quel livre, si ça n'est pas indiscret!

Sinon, merci à Simon.

Je connaissais cette démo bien-sûr mais elle utilise la fonction exponentielle ce que je ne voulais pas puisque je cherchais justement à la définir!

J'ai piqué le tout dans

Cours d'analyse B.CALVO, A.CALVO, J.DOYEN, F.BOSCHET Armand Collin collection U, vol.I, Page 47

C'est un livre paru en 1976 et épuisé depuis longtemps, mais toujours présent dans les bibliothèques

Merci pour la référence.
Il me reste à m'inscrire à une bibliothèque de maths! Sinon, j'essaierai de le trouver chez Gibert Jeune.