Bonjour
déjà, il y a un échange entre les deux bases dans ta première matrice : B1 devrait être en bas.
ensuite, ton application va de R4 dans R3 donc ta matrice doit avoir 4 colonnes mais seulement 3 lignes

Bonjour

Une fonction linéaire de R⁴ dans R³ a une matrice rectangulaire à 4 colonnes et 3 lignes.

Pour les bases canoniques f(1,0,0,0)=(1,0,0)
f(0,1,0,0)=(-1,0,0) f(0,0,1,0)=(0,1,0) f(0,0,0,1)=(0,-1,0). Donc

ensuite, tu fais une salade entre les éléments de R4 et les réels ...
f(c1) n'a aucun sens ! f(quadruplet) en a un....

bonjour Camélia

Bonjour lafol

Le soucis c'est que mes profs veulent avoir une réponse de mon type, clairement détailler, je fonctionnai de la même méthode que Camélia mais sa pour mon prof c'est 0 car aucune explication :/

Pourtant ce qu'a fait Camélia est bien plus explicite que ce que tu as fait : la matrice de f dans les bases B1 et B2 est bien constituée des colonnes des coordonnées dans la base B2 des images des vecteurs de B1, non ?

Si je comprends bien, tu appelles c1, c2 etc les vecteurs de la base B1 ?

ceci :

Tout élément de R4 s'écrit de façon unique comme:
x1c1+x2c2+x3c3+x4c4

f(x1c1+x2c2+x3c3+x4c4)=c1f(x1)+c2f(x2)+c3f(x3)+c4f(x4)=c1(x1-x2)+c2(x3-x4)+c3(0)

=x1(c1)+x2(-c1)+x3(c2)+x4(-c2)

merci de votre aide, la c'est bon? je voie pas comment conclure :/

ça ne peut pas être bon : c1 etc ne sont pas des triplets !

NON

ce qui n'est pas du tout pareil!

pour moi c1,..,c4 sont des vecteurs de B1

et les f(...) sont dans quel espace ?

Oui, mais ce n'est pas ce que tu écris

Tout élément de R4 s'écrit de façon unique comme:
c1x1+c2x2+c3x3+c4x4

f(c1x1+c2x2+c3x3+c4x4)=x1f(c1)+x2f(c2)+x3f(c3)+x4f(c4)
c'est ce que j'avais écrit au début, donc ce que j'ai écrit au début est juste (hormis la matrice)?

Non, on ne voit pas comment tu as calculé f(c₁) et les autres...

En faite je suit le développements de mon professeur pour un exercice du même type hors que l'espace d'arrivé est égale à l'espace d'arrivé. J'ai fait point par point le même développement et j'avoue ne pas savoir comment il passe de f(c1) à (x1-x2) qui est égale à f(x1) et non f(c1) !

J'y étais pas... donc je ne sais pas...

c1 = (1;0;0;0), donc pour c1, on a x1 = 1, x2 = x3 = x4 = 0 .
on regarde la définition de f : f((x1,x2,x3,x4)) = ( x1 - x2 , x3 - x4 , 0 ), et on remplace là-dedans x1 par 1 et les autres par 0.
on obtient f(c1) = (1 - 0 ; 0 -0 ; 0) = (1 ;0 ;0) = premier vecteur de la base B2

voilà l'exercice de mon prof:
Soit Beta=(e1,e2,e3) base canonique de R3. on considéreras l'application linéaire
f: R3       ->      R3
   (x1,x2,x3) -> (x1+x2+x3,x1+2x2+3x3,x1+4x2+9x3)
1) calculer M Beta,Beta(f) que l'on notera M

x1
x2 = x1e1+x2e2+x3e3
x3
f(x1e1+x2e2+x3e3)=x1f(e1)+x2(fe2)+x3f(e3)=(x1+x2+x3)e1+(x1+2x2+3x3)e2+(x1+4x2+9x3)e3
x1(e1+e2+e3)+x2(e1+2e2+4e3)+x3(e1+3e2+9e3)
par identification des coefficients:
f(e1)=e1+e2+e3
f(e2)=e1+2e2+4e3
f(e3)=e1+3e2+9e3

je comprend pas le développement x1f(e1)+x2(fe2)+x3f(e3)

le développement x1f(e1)+x2(fe2)+x3f(e3) résulte de la linéarité de f

Enfin bon je vais faire votre technique en espérant qu'il soit plus sympa que la dernière fois

au faite je me suis mal exprimer je parler du développement (x1+x2+x3)e1+(x1+2x2+3x3)e2+(x1+4x2+9x3)e3
merci pour votre aide.

Alors là, ça vient de (x1+x2+x3,x1+2x2+3x3,x1+4x2+9x3) = (x1+x2+x3)(1;0;0)+(x1+2x2+3x3)(0;1;0)+(x1+4x2+9x3)(0;0;1)

j'essaye de faire comme mon professeur pour l'exercice donner au début:
Soit e1,e2,e3,e4 4 vecteurs de B1
tel que: e1=(1,0,0,0) e2=(0,1,0,0) e3=(0,0,1,0) e4=(0,0,0,1)

x1
x2 =>x1e1+x2e2+x3e3+x4e4
x3
x4

f(x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)=x1f(e1)+x2f(e2)+x3f(e3)+x4f(e4)(car f est linéaire)

(x1 - x2 , x3 - x4 , 0) = (x1-x2)(1;0;0)+(x3-x4)(0;1;0)+(0)(0;0;1)

donc x1f(e1)+x2f(e2)+x3f(e3)+x4f(e4)=(x1-x2)e1+(x3-x4)e2+(0)e3

=x1(e1)+x2(-e1)+x3(e2)+x4(-e2)

par identification des coefficients:

f(e1)=e1
f(e2)=-e1
f(e3)=e2
f(e4)=-e2

1 -1 0  0
0  0 1 -1
0  0 0  0

voilà merci beaucoup pour votre aide j'ai enfin comprit

juste un truc : appelle plutôt f1,f2 et f3 les triplets de la base B2 : dans ton calcul e1 désigne tantôt (1;0;0;0), tantôt (1;0;0)

Ok merci lafol.
pour la seconde matrice je voie pas trop comment faire.

il faut que tu exprimes f(e1), f(e2) etc en fonction de U1, U2 et U3

soit a,b,c appartenant à R tel que:
a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(1,0,0)
a+b=1
a+c=0
b+c=0
a=-c et b=-c
a+a=1 =>2a=1 a=1/2
->b=1/2 et c=-1/2

a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(-1,0,0)
a+b=-1
a+c=0
b+c=0
b=-c et a=-c
=>a=-1/2, b=-1/2 et c=1/2

a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,1,0)
a+b=0
a+c=1
b+c=0
b=-c et a=-b
=>a=1/2, b=-1/2 et c=1/2

a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,1,0)
=>a=-1/2, b=1/2 c=-1/2


M_{B1}^{B3}=1/2  -1/2  1/2 -1/2
            1/2  -1/2 -1/2  1/2
           -1/2   1/2  1/2 -1/2

c'est sa mais les colonnes, lignes correspondent à quoi?
et peu tu m'expliquer pourquoi je doit exprimer f(e1), f(e2) etc en fonction de U1, U2 et U3?

      
            
            

help plz