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Couple de variable aléatoire

   
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#msg1912879 Posté le 13-06-08 à 19:13
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Soit \Large{(X_n)_{n\ge 1}} une suite de variable aléatoire et de loi \Large{\mathcal{N}(0,\sigma^2)} avec \Large{\sigma^2>0}. On pose \Large{S_n=X_1+...+X_n}.

Comment montre-t-on que \Large{(X_1,S_n)\sim\mathcal{N}_2(0,\tau)} avec \Large{\tau=\sigma^2\begin{pmatrix}1&1\\1&n\end{pmatrix} ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1912936 Posté le 13-06-08 à 19:49
Posté par Profilstokastik stokastik

Hello,

As-tu vu les vecteurs gaussiens en cours (en d'autres termes, les vecteurs aléatoires qui sont distribués selon une loi normale multivariée), où on t'a juste balancé la densité de la loi normale multivariée ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1912949 Posté le 13-06-08 à 19:56
Posté par Profilrobby3 robby3

Salut tout deux!

\large Var(X_1)=\sigma^2 \\ Var(S_n)\sigma^2.n

ceci te donne la diagonale de la matrice de dispersion.

le reste c'est la covariance sauf erreur,cad \large E(S_n.X_1)=E(X_1.S_n)

S_n est gaussien donc le couple de variable aléatoire (S_n,X_1) est gaussien
sauf erreur.
re : Couple de variable aléatoire#msg1912973 Posté le 13-06-08 à 20:12
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonsoir,

Citation :
As-tu vu les vecteurs gaussiens en cours (en d'autres termes, les vecteurs aléatoires qui sont distribués selon une loi normale multivariée), où on t'a juste balancé la densité de la loi normale multivariée ?

Oui, la dernière partit de mon cours y est consacrée.
L'introduction parle de la loi normale \Large{\mathcal{N}(m,\sigma^2)}. Ensuite j'ai la définition suivante :
\Large{X\in\mathbb{R}^n} est un vecteur gaussien ssi toute combinaison linéaire de ses coordonées est une variable aléatoire Gaussienne.

Citation :
ceci te donne la diagonale de la matrice de dispersion.

Qu'est-ce que la matrice de dispersion ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1912994 Posté le 13-06-08 à 20:35
Posté par Profilrobby3 robby3

la matrice de covariance,ton \large \Gammasi tu preferes
re : Couple de variable aléatoire#msg1912996 Posté le 13-06-08 à 20:37
Posté par Profilstokastik stokastik

Bref ici un seul résultat de la théorie des vecteurs gaussiens te permet de résoudre l'exercie.

C'est le résultat qui donne la loi de AZ où Z est un vecteur gaussien et A une matrice. Tu vas l'utiliser avec Z=(X_1, \ldots, X_n)^{t} et A la matrice telle que AZ=(X_1, S_n)^{t}.
re : Couple de variable aléatoire#msg1912997 Posté le 13-06-08 à 20:39
Posté par Profilstokastik stokastik

... ou en effet tu peux procéder comme robby3 et déterminer un par un les coefficients de la matrice de (X_1,S_n)^{t}. Mais dans le fond tu feras les mêmes calculs qu'avec ma matrice A.
re : Couple de variable aléatoire#msg1913007 Posté le 13-06-08 à 20:46
Posté par Profilrobby3 robby3

je vous laisse y'a le match
re : Couple de variable aléatoire#msg1913138 Posté le 13-06-08 à 22:44
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah oui ok!
Je vois c'est \Large{\tau= \begin{pmatrix}\mathbb{E}[X_1] & cov(X_1,S_n)\\cov(S_n,X_1) & \mathbb{E}[S_n]\end{pmatrix}

Mais comment on calcule \Large{cov(X_1,S_n)} ?
(allez les bleus ?)
re : Couple de variable aléatoire#msg1913139 Posté le 13-06-08 à 22:46
Posté par Profilrobby3 robby3

non plutot les variance sur la diagonale principale
et \rm \large Cov(X_1,S_n)=E(X_1.S_n) car E(X_1)=E(S_n)=0

j'ai déjà marquer à 19:56.

j'espere qu'il ont prévu le billet d'avion suisse/france pour mardi!
re : Couple de variable aléatoire#msg1913140 Posté le 13-06-08 à 22:53
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok!
Mais comment calcule-t-on \Large{\mathbb{E}[X_1S_n]} ?

(Msn?)
re : Couple de variable aléatoire#msg1913145 Posté le 13-06-08 à 22:58
Posté par Profilrobby3 robby3

tu multiplies X_1 par S_n

tu vois que E[X_1^2]=\sigma^2
parce que tu peux remarquer que E[X_1X_2]=0....E[X_1X_n]=0...
tu le vois facilement en considérant les couples de var correspondant et leur matrice de dispersion.
(sauf erreur)
re : Couple de variable aléatoire#msg1913148 Posté le 13-06-08 à 23:04
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Si je ne me trompe pas :
\Large{\mathbb{E}[X_1S_n]=\mathbb{E}[X_1^2]+\mathbb{E}[X_1X_2]+...+\mathbb{E}[X_1X_n]}.

Puisque \Large{X_k\sim\mathcal{n}(0,\sigma^2)} on a \Large{\mathbb{E}[X_k]=0} et \Large{\mathbb{V}[X_k]=\sigma^2}.
Or \Large{\mathbb{V}[X_k]=\mathbb{E}[X_k^2]-(\mathbb{E}[X_k])^2}.
D'où \Large{\mathbb{E}[X_k^2]=\sigma^2.

En particulier \Large{\mathbb{E}[X_1^2]=\sigma^2.
Ok ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1913150 Posté le 13-06-08 à 23:06
Posté par Profilrobby3 robby3

oui mais devant le\large (0\sigma^2) y'a un n en trop non?
re : Couple de variable aléatoire#msg1913152 Posté le 13-06-08 à 23:10
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah oui, c'est un \Large{\mathcal{N}} plutôt.
Par contre je ne vois pas comment calculer \Large{\mathbb{E}[X_1X_2]}.

J'essaye de regarder la loi de \Large{(X_1,X_2)} ?
J'ai \Large{\tau=\begin{pmatrix}\sigma^2&\mathbb{E}[X_2X_1]\\\mathbb{E}[X_1X_2]&\sigma^2\end{pmatrix}.
Après je vois pas pourquoi \Large{\mathbb{E}[X_1X_2]=0}.
re : Couple de variable aléatoire#msg1913153 Posté le 13-06-08 à 23:14
Posté par Profilrobby3 robby3

tu sais que X_1 et X_2 suivant la meme loi N(0,\sigma^2)
(tu as oublié de dire qu'elles étaient indépendantes)
donc le couple (X_1,X_2) est gaussien,comme X_1 et X_2 sont indépendantes, leur matrice de dispersion est diagonale...donc sauf erreur:
E[X_1,X_2]=0
(sauf erreur d'interprétation)
re : Couple de variable aléatoire#msg1913155 Posté le 13-06-08 à 23:19
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

\Large{X=(X_1,X_2)} est une variable aléatoire gaussienne car combinaison linéaire de variable aléatoire gaussienne ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1913157 Posté le 13-06-08 à 23:26
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
(X_1,X_2)est une variable aléatoire gaussienne car combinaison linéaire de variable aléatoire gaussienne ?

>euhh...y'a pas de combinaison linéaire là???

soit tu parle de var gaussiennes, soit de Vecteurs Gaussiens...
Dans le deuxieme cas, c'est ton message de 23:12...
re : Couple de variable aléatoire#msg1913158 Posté le 13-06-08 à 23:29
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok!
Si on a une question : \Large{X} est-il un vecteur Gaussien ?
Il faut regarder si toutes combinaisons linéaires de ces coordonnées est une variable aléatoire Gaussienne ?

Donc on regarde si la v.a.r \Large{aX_1+bX_2 est une v.a.r gaussienne ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1913160 Posté le 13-06-08 à 23:35
Posté par Profilrobby3 robby3

euh oui...
re : Couple de variable aléatoire#msg1913161 Posté le 13-06-08 à 23:40
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Et comment fait-on ?
Avec la fonction de répartition ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1913162 Posté le 13-06-08 à 23:40
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

(j'y suis sur msn!)
re : Couple de variable aléatoire#msg1913163 Posté le 13-06-08 à 23:44
Posté par Profilrobby3 robby3

je comprend pas, tu veux faire quoi là???
re : Couple de variable aléatoire#msg1913166 Posté le 13-06-08 à 23:47
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

J'aimerais montrer que \Large{X=(X_1,X_2)} est un vecteur Gaussien.
re : Couple de variable aléatoire#msg1913245 Posté le 14-06-08 à 11:01
Posté par Profilrobby3 robby3

si tu veux montrer que (X_1,X_2) est un vecteur gaussien,regarde X_1+X_2...
re : Couple de variable aléatoire#msg1913303 Posté le 14-06-08 à 12:13
Posté par Profilstokastik stokastik

H_aldnoer, oui à ton post du 13/06/2008 à 23:29. Mais souvent en pratique, si on te demande de montrer que (X_1,X_2) est un vecteur gaussien, tu auras quelque part dans l'énoncé un vecteur gaussien donné (Z_1,Z_2) (classiquement des va. normales indépendantes, le plus "simple" des vecteurs gaussiens), et il s'agira pour toi d'exprimer (X_1,X_2) comme une fonction linéaire de (Z_1,Z_2) (ou simplement de remarquer que c'est comme ça), ce qui montre que (X_1,X_2) est aussi un vecteur gaussien.
re : Couple de variable aléatoire#msg1913961 Posté le 15-06-08 à 12:24
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonjour,

donc ici, puisque \Large{X_1,X_2\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2), ceci est une condition suffisante  pour que \Large{X=(X_1,X_2) soit un vecteur gaussien. Est-elle nécessaire ?

Ensuite je n'arrive toujours pas à comprendre comment déterminer \Large{\mathbb{E}[X_1X_2].
re : Couple de variable aléatoire#msg1914432 Posté le 15-06-08 à 22:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Une question que je me suis posé aujourd'hui au travail : comment trouve-t-on la loi de \Large{S_n} ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1914452 Posté le 15-06-08 à 23:10
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
Une question que je me suis posé aujourd'hui au travail

>
(j'imagine!!)

S_n est CL entiere de var indépendantes gaussiennes donc c'est une var gaussienne caractérisé par son espérance et sa variance...

bonne nuit
re : Couple de variable aléatoire#msg1915892 Posté le 17-06-08 à 16:54
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
S_n est CL entiere de var indépendantes gaussiennes donc c'est une var gaussienne caractérisé par son espérance et sa variance...

C'est dans le cours ?
Ou est-ce un résultat ?

Comment se démontre-t-il ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1915905 Posté le 17-06-08 à 16:58
Posté par Profilrobby3 robby3

c'est dans le cours je crois bien!!
chapitre sur les vecteurs gaussiens,2/3 premieres pages
re : Couple de variable aléatoire#msg1915928 Posté le 17-06-08 à 17:08
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

J'ai pas trouvé dans le cours!
On parle de combinaison linéaire uniquement dans la définition du vecteur gaussien.
Tu es sûr ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1915933 Posté le 17-06-08 à 17:12
Posté par Profilrobby3 robby3

bah oui,tu peux considérer S_n comme un vecteur Gaussien non?

S_n=B.X
ou X=(X1,...,X_n)
et B c'est une application linéaire de matrice (1,1....,1)
ou y'a n 1.
re : Couple de variable aléatoire#msg1915958 Posté le 17-06-08 à 17:28
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Tu écris \Large{S_n=\begin{pmatrix}1&\cdots &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X_1\\\cdots \\X_n\end{pmatrix} avec \begin{pmatrix}X_1\\\cdots \\X_n\end{pmatrix} un vecteur gaussien ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1915963 Posté le 17-06-08 à 17:30
Posté par Profilrobby3 robby3

oui
re : Couple de variable aléatoire#msg1915964 Posté le 17-06-08 à 17:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

c'est autorisé par la CIA ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1915965 Posté le 17-06-08 à 17:30
Posté par Profilrobby3 robby3

et là y'a un théoreme du cours(à la fin avant ficher,student et compagnie..) qui donne la loi suivit par S_n
re : Couple de variable aléatoire#msg1915966 Posté le 17-06-08 à 17:31
Posté par Profilrobby3 robby3

Citation :
c'est autorisé par la CIA ?

>non mais la NSA a dit que c'était ok
re : Couple de variable aléatoire#msg1915978 Posté le 17-06-08 à 17:37
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
et là y'a un théoreme du cours

Je le vois pas!
Le théorème juste avant le V- Chi Deux, Student, Fisher ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1915990 Posté le 17-06-08 à 17:44
Posté par Profilrobby3 robby3

oui oui!!
c'est un truc du genre...X suit la loi N_n(m,\Gamma)
B une application linéaire de R^n dans R^p
alors Y=BX+b
suit la loi N_p(Bm+n,B\Gamma.B^t)

ici B c'est (1,....,1)et b=0
re : Couple de variable aléatoire#msg1915993 Posté le 17-06-08 à 17:45
Posté par Profilrobby3 robby3

erratum:N_p(Bm+b) pardon
(et b\in R^p)
re : Couple de variable aléatoire#msg1916014 Posté le 17-06-08 à 17:58
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ah ouiiii!
Et ici, \Large{Bm+b=0} et \Large{B\tau B^t=\begin{pmatrix}1&...&1\end{pmatrix}\sigma^2\begin{pmatrix}1&...&1\end{pmatrix}^t c'est bien ça ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1916023 Posté le 17-06-08 à 18:05
Posté par Profilrobby3 robby3

euhhh va y'avoir un soucis là...non?
re : Couple de variable aléatoire#msg1916028 Posté le 17-06-08 à 18:09
Posté par Profilrobby3 robby3

au milieu don \sigma^2, ça doit etre une matrice nXn \Gamma diagonale avec pour termes diagonaux que des \sigma^2 car c'est la matrice de covariance de X=(X_1,...,X_n) et les X_isuivent la loi N(0\sigma^2) et sont indépendantes.
(sauf erreur)
re : Couple de variable aléatoire#msg1916056 Posté le 17-06-08 à 18:22
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On a que, pour tout \Large{k}, \Large{X_k\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)}.
Par indépendance, le vecteur \Large{X=\begin{pmatrix}X_1\\...\\X_k\end{pmatrix} est gaussien.
On détermine sa loi par son espérance \Large{m=\mathbb{E}[X]=0} et sa matrice de covariance. Celle-ci est diagonale, toujours pas indépendance, soit \Large{\tau=\begin{pmatrix}\sigma^2&\cdots&0\\0&\cdots&0\\0&\cdots&\sigma^2\end{pmatrix}.
Donc \Large{X\sim \mathcal{N}(0,\tau).
J'ai du mal à comprendre l'égalité \Large{B=(1\cdots1). \Large{B} est censé être une application linéaire! Ici, elle va de quoi dans quoi, et elle associe quoi à quoi ?

Ensuite, si \Large{b=0}, alors \Large{Y=BX+b=BX=(X_1+...+X_n)=(S_n)} suit la loi \Large{\mathcal{N}(Bm+b,B\tau B^t).
On détermine :
\Large{Bm+b=0
\Large{B\tau B^t=n\sigma^2

D'ou \Large{S_n\sim\mathcal{N}(0,n\sigma^2).
re : Couple de variable aléatoire#msg1916081 Posté le 17-06-08 à 18:36
Posté par Profilrobby3 robby3

oui, il me semble que j'ai fais comme ça!
re : Couple de variable aléatoire#msg1916133 Posté le 17-06-08 à 19:06
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Ok, c'est déjà plus clair.
Y'a encore un truc : comment trouve-t-on que \Large{\mathbb{E}[(X_1,S_n)]=0 ?
re : Couple de variable aléatoire#msg1916141 Posté le 17-06-08 à 19:09
Posté par Profilrobby3 robby3

(X_1,S_n) est un vecteur gaussien non,
on l'a pas déjà fait ça??
re : Couple de variable aléatoire#msg1916169 Posté le 17-06-08 à 19:20
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Euh, c'était pour \Large{\mathbb{E}[X_1X_2]=0 plutôt non ?
Je ne vois pas coment déterminer l'espérance du couple, bien que je me doute qu'il faille trouver 0 !
re : Couple de variable aléatoire#msg1916488 Posté le 17-06-08 à 23:31
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Euh, juste, dans le corrigé il trouve que \Large{S_n=\mathcal{N}(0,\frac{\sigma^2(n-1)}{n}) ?!?

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