La découpe de simon ! :*::*::*:

Posté par matovitch matovitch

Bonjour à tous !
Voilà, je vous propose une petite JFF :



Ce problème est ouvert à tous (même collège) ! Bon courage !

Posté par simon92 simon92

Hello

Posté par matovitch matovitch

Hello !
J'ai pas dit maximale, mais minimale
Pour "médiocre, j'avoue que je bloque sur tout ce que tu fais.
Mais ça m'interesse, car au lycée on fait que des exos d'application, et j'apprécie que ça soit plus dur.

Sinon ta raison, il faut que tu revienne...

Posté par matovitch matovitch

tu as...

Posté par simon92 simon92

ah oui^^,

Posté par simon92 simon92

^^ oui, je sais ce que je pose, est surement très difficile et je n'aurais pas réussi a le faire en seconde je pense (même presque sur) mais j'aurais aimé avoir ce type d'exo en seconde, donc j'espère que ca te fait plaisir de reflechir ^^

Posté par matovitch matovitch

Simon >>



^{Sinon je suis en première (la honte)}

Posté par simon92 simon92

en première non plus (je croyais trop que t'était en seconde, ca me bluffait trop )

Posté par simon92 simon92

bon, en fait, ej sais comment faire, mais ca me fatigue^^ je le fait, ce soir promis mais j'explique,

Posté par matovitch matovitch

Simon >>

Posté par simon92 simon92

(optimalement petite^^)

Posté par matovitch matovitch

simon >>
avec un  indice (si tu veux pas) :

Posté par simon92 simon92

pffffff, je suis sur de l'avoir déjà fait ce problème c'est ca le pire...

Posté par matovitch matovitch

Pas étonnant, je me suis inspiré d'un exercices de mon livre de math, et je l'ai "amélioré"...

Posté par mikayaou mikayaou

Posté par matovitch matovitch

mika >>

Posté par mikayaou mikayaou

désolé, je calculais pendant que vous bavardiez

x pour le carré, y pour le cercle

Posté par matovitch matovitch

mika >>

Posté par matovitch matovitch

Je parlais de longueur!
Je vous laisse tranquille jusqu'à lundi, à vous !

Posté par mikayaou mikayaou


A vérifier

Posté par mikayaou mikayaou


A vérifier

;à

Posté par rogerd rogerd

Bonsoir tout le monde.

L'idée générale: on introduit le côté x du carré, une quantité y  proportionnelle au rayon du cercle telle que l'aire du cercle soit y^2 (il me semble que c'est ) et une quantité z proportionnelle au côté du triangle de sorte que l'aire du triangle soit z^2.
La somme des aires des trois figures est x^2+y^2+z^2 et la sommme des périmètres est de la forme k1 x + k2 y +k3 z, où k1,k2,k3 sont 3 coeff à déterminer.

Interprétons x,y,z comme les coordonnées d'un point M de l'espace rapporté à un repère orthonormé. x^2+y^2+z^2 est le carré de la distance de l'origine à M.
Imposer la longueur totale du fil égale à l équivaut à promener M dans le plan d'équation k1 x + k2 y +k3 z= l en restant dans le triangle défini par x positif, y positif, z positif.
On cherche celui de ces points qui est le plus près de O. C'est évidemment la projection orthogonale de O sur le plan du triangle.
Je pense qu'en terminales, et peut-être en 1°, on sait déterminer la position de ce point

YAPLUKA finir les calculs.

Posté par rogerd rogerd

10^10 excuses: j'ai oublié de blanker.

Posté par mikayaou mikayaou

ce qui donne une surface minimale de :


A vérifier

Donne ta méthode "simple" MV, car je suis passé par les dérivées partielles ( en espérant ne pas m'être trompé )

Posté par mikayaou mikayaou

tu peux mener tes calculs, rogerd, pour "voir" si on trouve le même résultats : je ne suis pas certain du mien...

Posté par rogerd rogerd


mikayaou

Posté par mikayaou mikayaou

merci rogerd

Posté par mikayaou mikayaou

Posté par mikayaou mikayaou

Et zut !

T_P : vite, le relooking !

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

En utilisant les dérivées partielles, je n'arrive pas au même résultat, mikayaou (je trouve 22.8 % pour le carré, et 17,9 % pour le disque)
J'ai du faire une erreur de calcul quelque part

Posté par mikayaou mikayaou

salut Arkhnor

hormis le fait que rogerd semble trouver la même chose que moi, je trouve que la formulation des longueurs s'apparente à un barycentre avec les coefs 4, pi et 3V3

en revanche, je n'ai pas bien saisi ( la géométrie et moi... ) la démo de rogerd

Posté par rogerd rogerd

Bonsoir mikayaou

Mes explications d'hier étaient fumeuses. J'essaie de reprendre. Si c'est encore fumeux, je reprendrai demain, après le café.

Soient a, R et d le côté du carré, le rayon du cercle et le côté du triangle équilatéral.

Je pose x=a, y=R.racine (pi) et z=d.(racine quatrième de 3)/2, de sorte que les aires des trois figures soient x^2, y^2 et z^2 . Les périmètres sont 4x, 2y.racine(pi) et 6z/(racine quatrième de 3).

On veut que la somme des trois aires soit la plus petite possible sachant que la somme des trois périmètres est imposée et égale à L.

J'interprète x,y et z comme les coordonnées d'un point M d'un espace rapporté à un repère orthonormé.

x^2+y^2+z^2 est le carré de la distance de l'origine du repère à M.

Imposer que la somme des 3 périmètres soit L, c'est imposer 4x+2y.racine(pi)+ 6z/(racine quatrième de 3)=L, qui est l'équation d'un plan dans notre espace. Il faut en outre que x, y et z soient positifs, ce qui nous limite à un triangle dans ce plan.

On veut minimiser la somme des trois aires. Cela revient à chercher le point M du triangle qui est le plus proche de l'origine. Un petit dessin dans l'espace montre clairement qu'il faut prendre pour M la projection orthogonale de O sur le plan du triangle.

Le vecteur de composantes 4, 2racine(pi) et 6/(racine quatrième de 3) est orthogonal au plan. Les coordonnées du point M cherché sont donc de la forme 4k, 2k racine(pi) et 6k/(racine quatrième de 3). Je détermine k en écrivant que le point vérifie l'équation du plan.

J'obtiens la valeur de k déjà donnée dans un précédent courrier. En reportant dans la somme des aires x^2+y^2+z^2, j'obtiens la même formule que toi.  

Je relirai ça demain matin.

Posté par mikayaou mikayaou

merci rogerd

comme je n'ai pas de "papier" sur moi ( : je parviens difficilement à raisonner en géométrie sans écrire en //... ) et que je ne peux que lire actuellement, je tenterai de te comprendre... demain matin

Posté par matovitch matovitch

Bonsoir tout le monde !
Mika et rogerd : c'est la bonne solution, bravo à tous les deux !
Il faudra que je regarde vos explications en détails

AK : Tu as du faire une erreur de calcul, je te laisse vérifier...(courage !)

Je donne la correction dès que possible, qui je pense était "trouvable" par un(e) collégien(ne) actucieux(euse).

Posté par mikayaou mikayaou

ça y est, rogerd, j'ai de nouveau du papier et ton explication est claire, cependant un ptit dessin en 3D avec le plan et la sphère tangente n'aurait pas été de refus

kiko, si tu nous lis...

Posté par mikayaou mikayaou

ET cette correction, MV ?

Posté par matovitch matovitch

Voici, une rapide correction :

On cherche, quelle quantité de fil faut-il pour faire une surface de 1 :







On sait ensuite que la surface est proportionnelle au carré de périmètre.

Reste pus qu'a faire un petit barycentre avec les coefficients au carré :







Alors ? Je pense que c'était accessible à un collégien non ?

Posté par infophile infophile



Barycentre au collège ?

Posté par matovitch matovitch

Oups ! Oui, c'est vrai.
Mais bon, un 3ème peut intuiter ça, avec la proportionnalité...bon d'accord très fort quand même.

Posté par mikayaou mikayaou

le clou du raisonnement était :


Qu'un collégien aurait du mal à intuiter -bien que cela lui soit accessible- ...