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exercice algèbre bilinéaire
bonjour tout le monde.
donc voi la je trouve du mal avec l'exercice suivant:
O note E l'espace des fonctions continues sur [0,1] muni du produi scalaire usuel
i.e <f,g>=integrale fg [0,1]
On demande de prouver l'existence et l'unicité d'un polynome An de Rn[X] tel que
pour tout polynome Q de Rn[X] on a : <An,Q>=Q(0) ( ca c'est facile car Rn[X] est de dimension finie,
et donc on utilise la bijection canonique entre Rn[X] et son dual pour avoir l'existence et l'unicité.
Après on nous demande de calculer An(0) et c'est là que je n'y arrive pas.
Quelqu'un pourrait m'aider. Merci
merci camélia.
au fait je trouve que An(0)=1
Mais la je trouve du mal avec la dernière question de cet exercice:
etant donnée une fonction f continue dans [0,1], on note d_n la distance de f a Rn[X] pour la norme de la convergence uniforme.
en supposant d_n=o(1/n), calculer la limite de <An,f>
alors, tu aurais une idée camélia?
Sans l'avoir fait.
Il existe un polynôme Qn dans Rn[X] tel que d(f,Qn)
2dn. J'ai mis une inégalité, car je ne me rappelle pas si dans ce cas, l'inf, c'est-à-dire dn est atteint. Alors
Vois si tu en tires quelque chose... (le second terme devrait tendre vers 0)
euh moi je pense que cavva tendre vers f(0)
il existe Qn dans Rn[X] tel ||f-Qn||< epsilon
<An,f>=<An,f-Qn+Qn>=<An,f-Qn> + <An,Qn> =< epsilon*<An,1> + Qn(0)
or <An,1>=1
et on peu conclure.. non?
C'est quelque chose de ce genre, mais il faut quand même bien regarder. Où as-tu utilisé le fait que dn=o(1/n)?
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