Cliquez pour afficherPosons Q(X)=(X+1)P(X)-X (1)
on remarque Q est de degré 2009, et que les 2009 entiers 0,1,..2008 sont des racines de Q.
donc Q peut s'écrire :
Q(X)=aX(X-1)(X-2)..(X-2008)
pour calculer a, utilisons l'expression (1)
d'une part
Q(-1)= +1
d'autre part
Q(-1) = a (2009!) (-1)^2009 = -a (2009!)
donc a = -1/(2009!)
ainsi
Q(2009)= -1
et Q(2009)= 2010P(2009) -2009
P(2009) = 2008/2010