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Anneau
Salut 
Voici un exemple où l'on peut déterminer le nombre d'éléments du quotient.
Soit une base de
et
le sous-module engendré par les éléments
défini par
où
tel que
On montre que le quotient contient un nombre fini d'éléments.
Le théorème de la base adaptée nous assure l'existence d'une base et d'entiers non nuls
tels que
soit une base de
Si on pose et
, on a :
**
**
**
** (somme directe)
Voici ma question :
Je voudrai montrer, en utilisant cette méthode, que
Donc on commence par prendre une base de
Ensuite il faut considérer le sous-module
Mais comment écrit-on les éléments engendré par ce sous-module ?
Merci
Salut FF
Je ne comprends rien... D'abord tes aij valent 
d? Ensuite le A de la fin du théorème c'est Z?
Enfin, dans Z[i] veux-tu le Z-module engendré par a+ib où l'idéal engendré par a+ib ?
salut Camélia
Arf, quand j'écris det en latex ça me met deux barres.
C'est un déterminant !
Oui A c'est ZZ
Enfin, dans Z[i] veux-tu le Z-module engendré par a+ib où l'idéal engendré par a+ib ?
Euh c'est quoi la différence ??
J'ai vu que A.m=\{a.m/a\in A\} est un sous-module de M si M A-module.
OK: le déterminant.
Dans Z[i] le Z sous-module engendré par (a+bi) est l'ensemble des n(a+bi) pour n dans Z
l'idéal engendré par (a+bi) est l'ensemble des z(a+bi) pour z dans Z[i].
Donc on prend déjà (1,i) une base de Z[i]
Ensuite on considère le Z sous-module engendré par (a+ib)
Aprè que faut-il prendre pour les f_j ?
Non, ce n'est pas pareil. Dans début, tu étais dans Zn, et tu as pris un sous-module engendré par n éléments.
Alors il s'agit peut-être du quotient par le Z[i] module.
S'il s'agit du quotient par le sous-module:
On est dans un anneau euclidien. Tout élément s'écrit (pas de manière unique) sous la forme
z=q(a+bi)+r avec |r|2
a2+b2
Dans un cas particulier, on arrive très bien à compter le nombre de restes différents. Mais cette histoire-ci n'a pas grand rapport avec celle du début!
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