Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum"

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Prenons une grille de 16 cases, puis plaçons-y au hasard les 16 entiers de 1 à 16. Pour chaque ligne et chaque colonne, on calcule le produit des nombres correspondants :



On trouve que le produit maximum est égal à 8064.

La question est la suivante : donner moi la grille telle que ce maximum soit le plus petit possible.

Voici la version 33 de ce jeu :

Pour être honnête, je ne connais pas la réponse à la question posée. Ce sera donc ceux qui me proposeront le plus petit maximum, accompagné de la grille, qui gagneront !
Le principe du jeu est enfantin ... mais la recherche de l'extremum l'est peut-être moins.

Bonne recherche !

Posté par rezoons rezoons

bonjour,
en esperant ne pas aller trop vite ,
je propose 2340 avec comme grille:

Posté par link224 link224

Salut jamo!

Après moult tâtonnements, je trouve un maximum minimal de 2304. La grille correspondante est jointe. (Et va falloir que je m'apprenne à écrire sous Paint...

@+ et merci pour l'énigme.

Posté par link224 link224

Re salut!

En re-regardant mon image jointe, je me rends compte que j'ai oublié de mettre le dernier produit sur la dernière ligne, ce produit est égal à 2288. J'espère que, si j'ai juste, cet oubli n'affectera en rien mon smiley (vu que je ne modifie pas ma réponse).
Merci et @+

Posté par Nofutur2 Nofutur2

En utilisant la possibilité de permuter les lignes et les colonnes, je peux faire l'hypoyhèse que le chiffre en haut à gauche est le 1 et que la première ligne et la première colonne sont en ordre croissant.
Pour utiliser la sumétrie, je peux supposer également que le deuxième chiffre de la 1ère ligne est inférieur au deuxième chiffre de la 1ère colonne.
J'obtiens dans ces conditions 2 grilles avec un produit maximum de 2184, qui est le plus petit que l'on puisse obtenir (du moins, je pense !!).

Ci-joint mes solutions.

Posté par -QQ- -QQ-



    1   9   15  16
    12  8   2   11
    13  6   7   4
    14  5   10  3

Avec comme plus petit maximum 1x12x13x14=2184.


    

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Jamo
les rangées de la grille

16 14  1 10
6  7 11  5
2  8 13  9
12  3 15  4

produits des rangées : 2240 2310 1872 2160
produits des colonnes : 2304 2352 2145 1800
plus grand produit : 2352

selon l'énoncé, on ne s'occupe pas des diagonales, même si leurs produits ont été inscrits dans l'illustration

Posté par Grimgar Grimgar

10     3      5     14   2100
2     11      8     12   2112
15    16      9     1    2160
7      4      6     13   2184

2100  2112    2160  2184

Notons la symétrie des produits ^^
Plus grand produit : 2184

On pourrait également poser le problème du produit minimum le plus grand : ici 2100, qui dit mieux ?

Si on fait le produit des 4 produits des 4 lignes, chacun des nombres de 1 à 16 est utilisé dans le produit une et une seule fois, le produit vaut donc 16! (16 factorielle). Racine quatrième de 16! vaut 2138 et des poussières. Si les quatre produits étaient tous les quatre inférieurs ou égaux à 2138, leur produit ne pourrait être égal à 16! (il serait strictement inférieur), ce qui est une contradiction : le plus grand produit vaut donc au moins 2139. Mais 2139, de même que 2140, 2141, etc... ne peut être obtenu comme produit de 4 entiers inférieurs ou égaux à 16. 2145 et 2156 peuvent l'être, mais ne permettent pas de créer une grille. 2184 est donc le plus petit produit maximum possible (à moins que ce ne soit 2160 xD).

Posté par manpower manpower

Bonjour,

on peut commencer par chercher le minimum théorique:
le produit des 16 premiers entiers vaut 16!=20922789888000, puis sa racine quatrième vaut environ 2138,72.
Ensuite 2139=3x23x31 ne peut convenir d'après ses diviseurs et il faut attendre 2145=3x5x11x13 pour avoir un nombre dont tous les diviseurs premiers sont compris entre 0 et 16.
On peut donc affirmer que le minimum théorique est de 2145.
Quant à l'atteindre c'est une autre affaire...

Je propose 2184 avec le carré suivant (qui convient également en rajoutant une condition sur le produit des valeurs pour les deux diagonales).



Au départ j'ai cherché à maximiser les diagonales (sans contraintes) mais sans succès. J'ai alors "blindé" les bords...
Les sommes sont bien équilibrées, aucune ne tombe sous 2100 et le maximum est atteint deux fois; elle a donc une belle tête !
M'enfin, j'ai quand même confié la vérification à un "petit" programme qui n'arrive pas à descendre sous 2184 donc cela devrait être une grille possible (à différentes symétries/rotations près) affichant le minimum en pratique.

Merci pour l'enigmo.

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

on peut montrer que le minimum est nécessairement supérieur à 2139 (racine quatrième de 1*2*...*16).

A l'aide d'un programme C et d'une petite heure de calculs, la meilleure grille que je trouve est :

12    3    4   16
15   13   11    1
6    8    5    9
2    7   10   14

Ce qui donne un max des produits égal à .

Ca sent un peu le poisson ,

merci pour l'énigme,

1emeu

Posté par yoyodada yoyodada

    produit ligne
2 8 9 16         2304
15 4 3 12         2160
7 5 6 11         2310
10 14 13 1         1820


produit colone:
2100 2240 2106 2112


voilà j'espère que c'est la meilleure grille possible(ce dont je doute fort) j'en ai un peu marre de chercher !

Posté par boums07 boums07

Je trouve 4620 (1ere ligne)

15 11 7 4
10 6 3 14
5  2 13 9
1 16 12 8

Posté par Jibjib Jibjib

              16   1   9   12    1728            
              2   15   7   10    2100                    
              14  11   6   3     2772                
              4    13   5    8    2080              
                              
       1792  2145  1890  2880    

     Je trouve que mon plus petit maximum est 2880          

Posté par kioups kioups

Je trouve 3024 comme minimum

15-11- 1- 7
10-13- 8- 2
3 - 5-16-12

Posté par kioups kioups

oups, a bugué...

15-11-1-7
10-13-8-2
3-5-16-12
6-4-9-14

Produit des lignes : 1155-2080-2880-3024
Produit des colonnes : 2700-2860-1152-2352

Posté par Eric1 Eric1

bonjour,

cela fait plusieurs jours que j'avais trouvé 2184, mais j'essayais de mieux faire.

La borne inférieure est bien sur (16!)^(1/4)=2138.72 et quelques


Je reste donc sur ma position de 2184

1 16 9 15
12 11 8 2
13 4 6 7
14 3 5 10

ou

1 16 11 12
10 5 6 7
14 3 4 13
15 9 8 2

sans compter les permutations...

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Jamo et merci. Ca devient dur

Je propose deux grilles où
le produit maximum est 2184:

16  15  9  1
11  2   8  12
4   7   6   13
3   10  5   14

et

16  12  11  1
9    2    8   15
5    7    6   10
3    13  4   14

Il y a bien sûr aussi toutes celles qui s'en déduisent par permutation sur les lignes ou sur les colonnes, ou échange des lignes et des colonnes.

Posté par matovitch matovitch

Bonjour Jamo !
Voici ma grille, assurée à 99% avec le plus petit maximum.



Merci pour l'énigme !

Posté par kiko21 kiko21

Bonsoir,

Je n'ai pas réussi à faire mieux (ou plutôt moins...) que
J'ai deux exemples pour cette valeur.

On verra bien...

A+, KiKo21.

Posté par karatetiger karatetiger

4 14 3 13       2184
5 9 6 8       2160
7 16 10 2       2240
15 1 12 11       1980


2100 2016 2160 2288


Donc mon max est de 2288 je n'arrive pas à descendre plus bas

Posté par piepalm piepalm

Très difficile de savoir, sans exploration systématique, si on a atteint le minimum...
Je suis tombé plusieurs fois sur le même nombre; de là à penser que c'est le minimum, il n'y a qu'un pas que je franchis allègrement!
Une solution possible:
13 15 6 2 2340
12 1 10 14 1680
3 9 8 11 2376
5 16 4 7 2240
2340 2160 1920 2156
Ma proposition pour le minimum est donc 2376

Posté par kev29 kev29

15 1 13 11 =2145
4 14 5 8 =2240
6 16 10 2 =1920
7 9 3 12 =2268

=2520 =2016 =1950 =2112

Posté par hllolotte hllolotte

le carre est le suivant:

12 -  5 -  8  - 6   = 2880
11 -  9 -  4  - 2   = 792
1  -  16-  11 - 15  = 2640
13 -  3 -  7  - 10  = 2730
=      =   =    =
1716;2160;2464;1800

le maximun est 2880

bravo au vainceur

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour, on n'est jamais trop sur avec ce genre d'enigme, mais bon tentons quand meme le coup...
On trouve comme resultat 2184...

Posté par -Tonio- -Tonio-

Bonjour ,

Sans grande conviction, je propose cette grille :

| 1   |  12 | 7   | 13 |
| 16 |  2   | 10 | 9   |
| 8   |  15 | 3   | 6   |
| 14 |  5   | 11 | 4  |


Ce qui nous fait :

HORIZONTALEMENT :



--> Le petit maximum est 3080

VERTICALEMENT :



En espérant un ,

@+

Posté par ThierryMasula ThierryMasula

Cher monsieur jamo,

Veuillez trouver ci-dessous notre meilleure offre pour la grille demandée.
Deux exécutions vous sont proposées, toutes deux atteignant une valeur plancher de 2184.
Un réordonnancement des lignes ou des colonnes est bien entendu envisageable sans supplément.

Dans l'espoir que l'une de celle-ci vous agrée, veuillez accepter, cher monsieur, l'expression de mes sentiments les plus distingués.

Posté par Labo Labo

Bonjour Jamo,
en route, pour un poisson!!!
  5   7   4  16 ==>
  9   2   8  14 ==> 2016
  3  12   6  10 ==> 2160
15  13  11   1 ==> 2145
verticalement
2025;2184;2112

Posté par dhalte dhalte

Bonsoir,

j'ai trouvé 2184, dont voici une solution

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

Pour cette grille le plus petit maximum est 2352:


Comme d'habitude je tourne comme un poisson dans son bocal est j' ai oublié le plus petit maximum 2 tours avant......

Posté par spencer spencer

salut,
le p'tit maximum d'apès moi est 3024
vous vous appercevrez que je suis pas doué en ce qui concerne les dessins avec paint (peut etre pour les énigmes aussi).

Posté par ITMETIC ITMETIC

Ici encore il est plutot difficile d'être assuré que l'on a trouvé l'extremum

En calculant la moyenne geometrique des produits des lignes on trouve 2138,...
L'extremum sera donc supérieur à cette valeur

Je me lance donc et voici ma solution avec un extremum à 2184

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Allez, on y croit !

Pas trouvé mieux que 2240 comme maximum minimum.

_{Des comme ça, on en redemande} ...

A+,
gloubi

Posté par xtasx xtasx

Bonjour,

voici ma réponse, mais je ne suis pas très confiant:

16 6 8 1
7 15 3 11
5 4 14 12
2 9 10 13

Le maximum des huit produits est de 3465=7*15*3*11

Merci !

Posté par pisur2 pisur2

Par tatonnement, je trouve 2574 avec le carré suivant :
5 9 8 6 Produit = 2160
7 12 10 3 Produit = 2520
14 1 16 11 Produit = 2464
4 15 2 13 Produit = 1560
P=1960 P=1620 P=2560 P=2574

Posté par davidlab davidlab

Bonjour, je dirais 2304 sans grande ceetitude. Merci.

Posté par lo5707 lo5707

bonjour,

Loin d'être sûr, mais tant pis...
Je ne trouve pas mieux que 3640:


Merci pour cette énigme.

Posté par smile-butterfly smile-butterfly

HONRIZONTALEMENT
16*1*8*15 = 1920      
2*12*11*7 = 1848
10*14*3*6 = 2520
5*13*9*4 = 2340


VERTICALEMENT
16*2*10*5 = 1600
1*12*14*13 = 2184
9*11*3*9 = 2376
15*7*6*4 = 2520

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Le petit maximum semble donc être 2138.

Certains ont même donné de bons arguments qui font penser qu'il est difficile de trouver moins.

Là encore, la grille qui contient le petit maximum contient aussi le grand minimum.

On pourrait envisager de traiter ce problème sur des grilles plus grandes : 5*5 ; 6*6 ...

On sent que le petit maximum et le petit minimum vont se rapprocher de plus en plus vers

En tout cas, bravo à ceux qui ont osé jouer !

(et manpower qui est encore en tête pour l'instant ... mais le mois n'est pas fini)

Posté par lo5707 lo5707




2184 il me semble...

Posté par jamo jamo

Oui, 2184 ...

Posté par ThierryMasula ThierryMasula

D'autant qu'il était impossible de trouver plus petit que 2139 !

Posté par mikayaou mikayaou

bonsoir

vraisemblablement que tous les poissonneux n'ont pas utilisé de programmes (ou alors, erreur de programmation)

ce qui ne veut pas dire que tous les smileurs ont obligatoirement utilisé la programmation

Cependant, je serais étonné de savoir si des smileurs ont trouvé sans programmation ?

si un smileur savait me dire sa méthode sans programmation...

Posté par rogerd rogerd

Bonjour mikayaou.

En ce qui me concerne, je n'ai pas trouvé de grosse astuce pour résoudre complètement l'énigme à la main.
J'ai vu qu'on ne restreignait pas le problème en mettant une suite décroissante dans la première ligne et dans la première colonne ( donc les deux commencent par 16) le 2° terme de la 1° colonne étant plus grand que le  1° terme de la 2° colonne.
N'ayant pas vu d'autre simplification, il me restait, à partir de là, beaucoup de solutions à envisager. J'ai donc utilisé Maple de façon intéractive: parcours de boucles imbriquées jusqu'à trouver une solution. Ensuite je reprends mes boucles en demandant de sortir seulement quand le résultat est amélioré. etc.
Je ne sais pas si on peut vraiment parler de programmation car Maple a fonctionné comme une calculette.
D'autres ont peut-être réussi à analyser plus le finement le problème et ont pu le résoudre complètement sans calculette?

Posté par mikayaou mikayaou

merci de ta réponse rogerd-bonjour-

le terme "programmation" était peut-être trop fort : c'est bien à des boucles et procédés itératifs auxquels je pensais...

d'autres avis ?

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j'ai pensé à toi et veleda en adaptant mathîliennement les JFF postées ce matin :

¤ [détente]_JFF_Multiplication poisonneuse

¤ [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_20

¤ [détente]_JFF_Les vacances de veleda

( désolé de faire de la retape, en cette période plutôt (trop) calme sur l' )