Bonjour,

je crois que tu t'es trompé dans le polynome.

Je trouve : -x³+4x²-5x+2

Et celui-ci possède une solution évidente ...

bonjour severinette

avec x=1 racine évidente ( au vu du 2 final, il peut essayer -2;-1;1 et 2 ) il mets (x-1) en facteur et trouve les autres, non ?

oui erreur de frappe pardon jamo c'est bien -x³+4x²-5x+2 , mais vous ne répondez pas à ma question , si l'élève ne voit pas de racine évidente et si il connait pas les discriminants du 3eme degré comment il fait ?!

Sinon, tu traces la courbe représentative du polynome, et tu trouves les racines ... à confirmer par le cacul ensuite.

jamo non mais en examen pas le temps de tracer la courbe l'exo est déjà assez gros comme ça..., donc :

si l'élève ne voit pas de racine évidente et si il connait pas les discriminants du 3eme degré comment il fait ?!

au vu de la valeur de la constante, ici 2, il se doit d'essayer -2;-1;1 et 2...

mika ça c'est de la pure intuition qui n'a aucun fondement mathématique , je suis pas convaincue franchement

jamo tracer une courbe avec ta précision dans un examen où c'est bourré d'exos oui pas le temps , sinon j'ai une autre question les gars :

pq on apprend les discriminants du second degré en 1ere et qu'on doit attendre bac+2 pour apprendre les discriminants du 3eme degré , c'est tellement plus difficile ?

merci

le dernier terme est le produit des zéros, si ils existent

si un des zéros est entier, il divise +2...

comme tu veux

?

le "comme tu veux" était une réponse à "...qui n'a aucun fondement mathématique..."

Bon, répondons dans l'ordre :

1. Pour les courbes, on apprend aux élèves à en tracer dès la 2nde. Certains ne prennent jamais la peine le faire, refusent de savoir se servie de leurs calculatrices (quand ils prennent la peine de s'en procurer une), l'oublient tout le temps ... bref au final, ils ne savent pas tracer une courbe avec, alors que ça prend 10 secondes pour le faire et 10 secondes de plus pour bien la cadrer.
Après, si tu ne veux pas prendre 30 secondes pour le faire, je te conseille de ne pas le faire, et d'écrire sur ta copie que tu n'as pas de temps à perdre avec ça ...

2. Je suis prof de maths, j'ai fais pas mal d'études ... et je ne connais pas la méthode pour résoudre une équation du 3ème degré à la main. Je sais que la méthode existe (Cardan, Tartaglia, ...) mais c'est tout de suite compliqué et long à le faire à la main, on ne le fait jamais en pratique.

3. une autre méthode, mais tu vas dire que c'est trop long : on peut utiliser sa calculatrice pour résoudre une équation quelconque. Mais bon, il faut prendre la peine de saisir la fonction et de taper sur quelques touches pour accéder aux bons menus, sans doute trop fastidieux ...

Bonjour,

En supposant que l'élève ait vu un cours correct sur les déterminants :

Le polynôme caractéristique est le déterminant suivant :

|2-x   2-x   2-x    |
| -1    -x      -1     |
|  1      1       2-x |

C'est parti on calcule :

1) L1=L1+L2+L3

|2-x   2-x   2-x    |
| -1    -x      -1     |
|  1      1       2-x |

2) Mise en facteur de 2-x :

          |  1      1         1 |
(2-x)  | -1    -x        -1  |
          | 1      1       2-x |

3) L1=L1+L2 :


          |  0     1-x      0  |
(2-x)  | -1    -x      -1    |
          | 1       1      2-x |

4) On développe suivant la première ligne :

                  
-(2-x)(1-x) *  | -1   -1  |   =  -(2-x)(1-x)(-1+x)  =(2-x)(x-1)²
                      |  1   2-x |

Et voilà ! Sauf erreur de ma part bien sûr

Conclusion : toujours effectuer des calculs sur les lignes ou colonnes pour simplifier les déterminants, ne pas faire de calculs 'à la barbare' ou alors, trouver les racines évidentes, 1 et 2 c'est pas sorcier mais des fois ça peut être moins évident justement...

Critou

personnelement je n'utilise jamais de calculatrice , et de un , de 2 , tracer en 10 seconde la courbe précise que tu viens de tracer je ne sais pas le faire désolée et je connais aucun élève de 1ere année qui le ferait , merci bien .

Alors ne réponds pas aux questions qui te seront posées, voilà la seule solution qui te reste.

Bon courage quand même !

critou en fait on peut simplifier un calcul de déterminant en simplifiant la matrice par gauss si j'ai bien compris ?

Bonjour

Ou alors l'élève connais la méthode avec oppération sur lignes et colonnes :

2-x  1  1
-1  0-x  -1
1   1   2-x

C3 <- C3 - C1

2-x  1  -1+x
-1  -x  0
1  1  1-x

Tu mets (1-x) en facteur, il te reste :

2-x  1  -1
-1  -x  0
1  1  1

L1 <- L1 + L3

3-x  2  0
-1  -x  0
1   1  1

Développement par rapport à dernière colonne :

3-x  2
-1  -x

L1 <- L1 + L3

2-x  2-x
-1  -x

factorises par 2-x :

1  1
-1  -x

Et au final tu obtiens :

(1-x)(2-x)(-x+1) = -(x-1)²(x-2)

A bientôt

Oups en retard

Ca te fais 2 méthodes avec les déterminants comme ça !

merci j'ai appris certaines choses grâce à vos réponses en tout cas .

jamo , ça fait peur ce que tu dis , car imagine que tu aies une équation du 3eme degré à résoudre , assez difficile , imagine que tu ne vois pas de racines évidentes et que tu ne peux pas utiliser cardan ou autre car c'est très long , comment tu vas faire alors ?

Bonjour à tous

Sév > en général les concepteurs de sujet se débrouillent pour que les calculs se passent bien, et si au pire, des valeurs exactes ne sont pas demandées mais qu'il est dit "montrer que (e) : bidule = 0 admet une racine dans [0,1], une étude de fonction peut suffire.

ok gui ce que je trouve très étonnant c'est que les equations du 3eme degré sont si difficiles à résoudre , c'est dingue , meme jamo qui pourtant est prof de maths le dit , je trouve juste cela vraiment étrange , je comprends mieux maintenant pq on galère tjs avec le 3eme degré .

Un peu de lecture ?   

ok donc un truc bien bourrin , mais je mets ton lien dans mes favoris car je veux tôt ou tard etre à l'aise avec les equations polynomiales , merci gui

Bonsoir , j'ai la matrice suivante :

2 1 1
-1 0 -1
1 1 2

1) Déterminer les valeurs propres et chercher les espaces propres correspondants .

Les valeurs propres on les connait ce sont 1 et 2 , et pour trouver les espaces propres j'ai résolu ces systèmes :

x+y+z = 0
-x-y-z = 0

ce qui me fait un espace propre associé à 1 engendré par les vecteurs (1 0 1) et (0 1 -1) .

L'espace propre associé à la valeur 2 est :

y+z=0
-x-2y-z=0
x+y=0

x=-y=z , il est engendré par le vecteur (-1 1 -1) .

2) La matrice M est elle diagonalisable ?

Oui car le polynome caractéristique est scindé  et que la dimension des sous espaces propres est égale à l'ordre de multiplicité des racines .

3) Trouver une matrice inversible P telle que P^-1 M P soit une matrice diagonale .

Alors P c'est la matrice formée des vecteurs propres , donc c'est celle ci :

1 0 -1
0 1 1
-1 -1 -1

Je calcule son inverse par la méthode de cramer et j'obtiens P^-1 =

0 -1 -1
1 2 1
-1 -1 -1

Que pensez vous de mes réponses ?

merci

*** message déplacé ***

Sinon un petit exemple : pour résoudre x²+x-2

¤ tu vois direct que 1 est racine évidente (ou -2 mais c'est moins évident ) et hop tu factorises et tu obtiens (x-1)(x+2)

¤ discriminant et compagnie, barbare

¤ tu utilises la forme canonique :



¤ il doit y avoir d'autres méthodes, mais je ne vois pas pour l'instant

la forme canonique est légèrement barbare aussi , mais je me suis jamais entrainé à la faire c'est pour ça...

t as tout dit,tes reponses sont justes

*** message déplacé ***

t'es sérieux ?

*** message déplacé ***

Bonjour tout le monde.

Bonjour

ok merci pour vos précisions je me sens bcp mieux

En effet, la méthode de Cardan est rarement utilisée en pratique.

C'était en vogue du temps ou les mathématiciens se lancaient des défis

Hue si je peux me permettre il existe une méthode (vue en terminale?) pur trouver toues les zeros rationnels d'une equation polynoiale a coeff entiers...

Rodrigo >> peux tu nous expliquer cette méthode ... ?

jamo >

Rodrigo n'étant pas là je me permet de répondre. Je n'ai pas la généralisation, mais si on prend par exemple :

4x³-3x+9 = 0

On cherche une solution sous la forme x = p/q avec pgcd(p,q) = 1

4.(p/q)³ - 3.(p/q) + 9 = 0

En multipliant le tout par q³ on obtient :

4p³ - 3.p.q² + 9.q³ = 0

D'où :

9.q³ = p(3.q²+4.p²)

Ainsi p|9.q³ donc p|9 d'après Gauss

De même :

4p³ = q²(3.p-9q)

D'où q²|4

On peut alors en déduire en essayant les peu de cas possible que x = p/q = -3/2

A bientôt

Oui, c'est ce qu'on appelle la méthode de Cardan :

Bonjour.

Je ne crois pas que ce soit la méthode de Cardan, cette méthode utilise un changement de variable, puis passe éventuellement par les complexes, et permet de déterminer toutes les racines, sous formes de radicaux.
La méthode de lyonnais utilise des propriétés d'arithmétique, et ne permet d'obtenir que les racines rationnelles.
En fait, je crois que l'on cherche la solution sous la forme p/q, avec p et q premier entre eux, et p qui divise le coefficient de plus bas degré, et q, qui divise le coefficient dominant.