polynome 3eme degré !

Posté par severinette severinette

Bonsoir , j'ai cette matrice :

2 1 1
-1 0 -1
1 1 2

Son polynome caractéristique c'est : -x³ + 4x² - x + 2 .

Alors un élève de 1ere année de fac ou de prépa n'a jamais appris à trouver les racines des polynomes de degré 3 avec le discriminant , ça c'est clair c'est pas dans les programmes . Ensuite , en supposant que ce meme élève ne trouve pas les racines évidentes ( qui sont ici 1 et 2 ) , comment peut il faire pour découvrir les racines de ce polynome quand il est en plein devant sa copie d'examen ?

merci bcp pour vos précisions .

Posté par jamo jamo

Bonjour,

je crois que tu t'es trompé dans le polynome.

Je trouve : -x³+4x²-5x+2

Et celui-ci possède une solution évidente ...

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour severinette

avec x=1 racine évidente ( au vu du 2 final, il peut essayer -2;-1;1 et 2 ) il mets (x-1) en facteur et trouve les autres, non ?

Posté par severinette severinette

oui erreur de frappe pardon jamo c'est bien -x³+4x²-5x+2 , mais vous ne répondez pas à ma question , si l'élève ne voit pas de racine évidente et si il connait pas les discriminants du 3eme degré comment il fait ?!

Posté par jamo jamo

Sinon, tu traces la courbe représentative du polynome, et tu trouves les racines ... à confirmer par le cacul ensuite.

Posté par severinette severinette

jamo non mais en examen pas le temps de tracer la courbe l'exo est déjà assez gros comme ça..., donc :

si l'élève ne voit pas de racine évidente et si il connait pas les discriminants du 3eme degré comment il fait ?!

Posté par mikayaou mikayaou

au vu de la valeur de la constante, ici 2, il se doit d'essayer -2;-1;1 et 2...

Posté par jamo jamo



Ah bon !

Tracer une courbe est une opération longue ??

Bah écoute, là, je ne peux plus t'aider !

Posté par severinette severinette

mika ça c'est de la pure intuition qui n'a aucun fondement mathématique , je suis pas convaincue franchement

Posté par severinette severinette

jamo tracer une courbe avec ta précision dans un examen où c'est bourré d'exos oui pas le temps , sinon j'ai une autre question les gars :

pq on apprend les discriminants du second degré en 1ere et qu'on doit attendre bac+2 pour apprendre les discriminants du 3eme degré , c'est tellement plus difficile ?

merci

Posté par mikayaou mikayaou

le dernier terme est le produit des zéros, si ils existent

si un des zéros est entier, il divise +2...

comme tu veux

Posté par severinette severinette

?

Posté par mikayaou mikayaou

le "comme tu veux" était une réponse à "...qui n'a aucun fondement mathématique..."

Posté par jamo jamo

Bon, répondons dans l'ordre :

1. Pour les courbes, on apprend aux élèves à en tracer dès la 2nde. Certains ne prennent jamais la peine le faire, refusent de savoir se servie de leurs calculatrices (quand ils prennent la peine de s'en procurer une), l'oublient tout le temps ... bref au final, ils ne savent pas tracer une courbe avec, alors que ça prend 10 secondes pour le faire et 10 secondes de plus pour bien la cadrer.
Après, si tu ne veux pas prendre 30 secondes pour le faire, je te conseille de ne pas le faire, et d'écrire sur ta copie que tu n'as pas de temps à perdre avec ça ...

2. Je suis prof de maths, j'ai fais pas mal d'études ... et je ne connais pas la méthode pour résoudre une équation du 3ème degré à la main. Je sais que la méthode existe (Cardan, Tartaglia, ...) mais c'est tout de suite compliqué et long à le faire à la main, on ne le fait jamais en pratique.

3. une autre méthode, mais tu vas dire que c'est trop long : on peut utiliser sa calculatrice pour résoudre une équation quelconque. Mais bon, il faut prendre la peine de saisir la fonction et de taper sur quelques touches pour accéder aux bons menus, sans doute trop fastidieux ...

Posté par critou critou

Bonjour,

En supposant que l'élève ait vu un cours correct sur les déterminants :

Le polynôme caractéristique est le déterminant suivant :

|2-x   2-x   2-x    |
| -1    -x      -1     |
|  1      1       2-x |

C'est parti on calcule :

1) L1=L1+L2+L3

|2-x   2-x   2-x    |
| -1    -x      -1     |
|  1      1       2-x |

2) Mise en facteur de 2-x :

          |  1      1         1 |
(2-x)  | -1    -x        -1  |
          | 1      1       2-x |

3) L1=L1+L2 :


          |  0     1-x      0  |
(2-x)  | -1    -x      -1    |
          | 1       1      2-x |

4) On développe suivant la première ligne :

                  
-(2-x)(1-x) *  | -1   -1  |   =  -(2-x)(1-x)(-1+x)  =(2-x)(x-1)²
                      |  1   2-x |

Et voilà ! Sauf erreur de ma part bien sûr

Conclusion : toujours effectuer des calculs sur les lignes ou colonnes pour simplifier les déterminants, ne pas faire de calculs 'à la barbare' ou alors, trouver les racines évidentes, 1 et 2 c'est pas sorcier mais des fois ça peut être moins évident justement...

Critou

Posté par severinette severinette

personnelement je n'utilise jamais de calculatrice , et de un , de 2 , tracer en 10 seconde la courbe précise que tu viens de tracer je ne sais pas le faire désolée et je connais aucun élève de 1ere année qui le ferait , merci bien .

Posté par jamo jamo

Alors ne réponds pas aux questions qui te seront posées, voilà la seule solution qui te reste.

Bon courage quand même !

Posté par severinette severinette

critou en fait on peut simplifier un calcul de déterminant en simplifiant la matrice par gauss si j'ai bien compris ?

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

Ou alors l'élève connais la méthode avec oppération sur lignes et colonnes :

2-x  1  1
-1  0-x  -1
1   1   2-x

C3 <- C3 - C1

2-x  1  -1+x
-1  -x  0
1  1  1-x

Tu mets (1-x) en facteur, il te reste :

2-x  1  -1
-1  -x  0
1  1  1

L1 <- L1 + L3

3-x  2  0
-1  -x  0
1   1  1

Développement par rapport à dernière colonne :

3-x  2
-1  -x

L1 <- L1 + L3

2-x  2-x
-1  -x

factorises par 2-x :

1  1
-1  -x

Et au final tu obtiens :

(1-x)(2-x)(-x+1) = -(x-1)²(x-2)

A bientôt

Posté par lyonnais lyonnais

Oups en retard

Ca te fais 2 méthodes avec les déterminants comme ça !

Posté par severinette severinette

merci j'ai appris certaines choses grâce à vos réponses en tout cas .

Posté par severinette severinette

jamo , ça fait peur ce que tu dis , car imagine que tu aies une équation du 3eme degré à résoudre , assez difficile , imagine que tu ne vois pas de racines évidentes et que tu ne peux pas utiliser cardan ou autre car c'est très long , comment tu vas faire alors ?

Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour à tous

Sév > en général les concepteurs de sujet se débrouillent pour que les calculs se passent bien, et si au pire, des valeurs exactes ne sont pas demandées mais qu'il est dit "montrer que (e) : bidule = 0 admet une racine dans [0,1], une étude de fonction peut suffire.

Posté par severinette severinette

ok gui ce que je trouve très étonnant c'est que les equations du 3eme degré sont si difficiles à résoudre , c'est dingue , meme jamo qui pourtant est prof de maths le dit , je trouve juste cela vraiment étrange , je comprends mieux maintenant pq on galère tjs avec le 3eme degré .

Posté par gui_tou gui_tou

Un peu de lecture ?   



tiré de wiki

Posté par severinette severinette

ok donc un truc bien bourrin , mais je mets ton lien dans mes favoris car je veux tôt ou tard etre à l'aise avec les equations polynomiales , merci gui

Posté par severinette severinette

Bonsoir , j'ai la matrice suivante :

2 1 1
-1 0 -1
1 1 2

1) Déterminer les valeurs propres et chercher les espaces propres correspondants .

Les valeurs propres on les connait ce sont 1 et 2 , et pour trouver les espaces propres j'ai résolu ces systèmes :

x+y+z = 0
-x-y-z = 0

ce qui me fait un espace propre associé à 1 engendré par les vecteurs (1 0 1) et (0 1 -1) .

L'espace propre associé à la valeur 2 est :

y+z=0
-x-2y-z=0
x+y=0

x=-y=z , il est engendré par le vecteur (-1 1 -1) .

2) La matrice M est elle diagonalisable ?

Oui car le polynome caractéristique est scindé  et que la dimension des sous espaces propres est égale à l'ordre de multiplicité des racines .

3) Trouver une matrice inversible P telle que P^-1 M P soit une matrice diagonale .

Alors P c'est la matrice formée des vecteurs propres , donc c'est celle ci :

1 0 -1
0 1 1
-1 -1 -1

Je calcule son inverse par la méthode de cramer et j'obtiens P^-1 =

0 -1 -1
1 2 1
-1 -1 -1

Que pensez vous de mes réponses ?

merci

*** message déplacé ***

Posté par gui_tou gui_tou

Sinon un petit exemple : pour résoudre x²+x-2

¤ tu vois direct que 1 est racine évidente (ou -2 mais c'est moins évident ) et hop tu factorises et tu obtiens (x-1)(x+2)

¤ discriminant et compagnie, barbare

¤ tu utilises la forme canonique :



¤ il doit y avoir d'autres méthodes, mais je ne vois pas pour l'instant

Posté par severinette severinette

la forme canonique est légèrement barbare aussi , mais je me suis jamais entrainé à la faire c'est pour ça...

Posté par ghaliouss ghaliouss

t as tout dit,tes reponses sont justes

*** message déplacé ***

Posté par severinette severinette

t'es sérieux ?

*** message déplacé ***

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour tout le monde.



Je te conseille de savoir la pratiquer, car cela te servira beaucoup plus tard (équations de coniques, réduction de Gauss, ...)

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour



On doit apprendre ça en première (vérification faite auprès de ma fille).

Sinon, pour les équations du 3ème degré (>jamo: ), je n'en ai jamais résolu une seule avec les méthodes qu'on étudie (Tartaglia...). Et je suis prof comme Jamo, et sans doute beaucoup plus âgé...

Posté par severinette severinette

ok merci pour vos précisions je me sens bcp mieux

Posté par Arkhnor Arkhnor

En effet, la méthode de Cardan est rarement utilisée en pratique.

C'était en vogue du temps ou les mathématiciens se lancaient des défis

Posté par Rodrigo Rodrigo

Hue si je peux me permettre il existe une méthode (vue en terminale?) pur trouver toues les zeros rationnels d'une equation polynoiale a coeff entiers...

Posté par jamo jamo

Rodrigo >> peux tu nous expliquer cette méthode ... ?

Posté par lyonnais lyonnais

jamo >

Rodrigo n'étant pas là je me permet de répondre. Je n'ai pas la généralisation, mais si on prend par exemple :

4x³-3x+9 = 0

On cherche une solution sous la forme x = p/q avec pgcd(p,q) = 1

4.(p/q)³ - 3.(p/q) + 9 = 0

En multipliant le tout par q³ on obtient :

4p³ - 3.p.q² + 9.q³ = 0

D'où :

9.q³ = p(3.q²+4.p²)

Ainsi p|9.q³ donc p|9 d'après Gauss

De même :

4p³ = q²(3.p-9q)

D'où q²|4

On peut alors en déduire en essayant les peu de cas possible que x = p/q = -3/2

A bientôt

Posté par jamo jamo

Oui, c'est ce qu'on appelle la méthode de Cardan :

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

Je ne crois pas que ce soit la méthode de Cardan, cette méthode utilise un changement de variable, puis passe éventuellement par les complexes, et permet de déterminer toutes les racines, sous formes de radicaux.
La méthode de lyonnais utilise des propriétés d'arithmétique, et ne permet d'obtenir que les racines rationnelles.
En fait, je crois que l'on cherche la solution sous la forme p/q, avec p et q premier entre eux, et p qui divise le coefficient de plus bas degré, et q, qui divise le coefficient dominant.