Forum : algèbre :
anneauet polynôme

Salut

Je note A* l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau commutattif et intègre A.

En cours, nous avons montré que : (A[X])*=A*

Bon l'une des inclusions est évidente.

Pour l'autre :

Soit P(X) dans A[x]*

On a montré que forcément P(x)=constante

Pôurquoi cela implique-t-il que P(X) est dans A*

Tout élément n'est pas inversible dans un anneau ...

Je sais aussi que l'application f da A dans A[X] qui à a associe la suite bn telle que b_0=a et pour n>0, bn=0, est un homomorphisme injectif d'anneaux?

Faut-il se servir de ceci.

Merci d'avance pour vos réponses et bonne soirée

bonjour,
ben tu l'as dit tout polynome inversible est necessairement une constante....inversible...donc dans A*

Salut FF,

tu as montré que (et de même pour son inverse dans , ),

comme on a déjà la relation dans , on l'a toujours dans , ce qui permet de conclure.

Il me semble que je t'ai déjà aidé à répondre à cette question il y'a plusieurs mois, non ?

Salut romu

ok on a toujours la relation dans A donc P(X) est dans A*

Mais en fait je demandais pourquoi toute constante est inversible ?

Je sais pas ça me paraît pas naturel dans un anneau A quelconque ...

Un petit up avant de partir ^^

Bonne journée à tous(tes)

fusionfroide -> On cherche les P inversibles dans A[X]. On montre facilement que P est une constante, et comme on a supposé P inversible, P est donc une constante ... inversible (car pour une constante, être inversible dans A[X] ou dans A c'est la même chose)
Mais bien sûr toutes les constantes ne sont pas inversibles, c'est juste qu'on veut P inversible donc on ne garde que les inversibles.

Fractal

ok merci Fractal !

A+

De rien

Fractal

Question subsidiaire: Peut-on trouver un anneau A tel que A[X] soit un corps?

Bonne réflexion.

> Ayoub NON!

A tous: Je trouve que dans toutes vos démonstrations vous n'avez pas assez insisté sur le fait que A est intègre

Par exemple si A=Z/4Z, le polynôme non constant 1+2X est inversible!

Le suspense n'aura pas durer très longtemps...

Désolée, ça n'empêche pas de chercher pourquoi!

Pour la peine:

Montrer que si A[X] est principal, alors A est un corps.

Coucou H_aldnoer

C'est vrai que je préfère l'algèbre; mais surtout, les derniers temps tu es rentré dans des eaux trop profondes pour moi... (métaphore ilienne, bien sûr)!

Un 'ti up de topic pour la question de Camélia.

Camélia >> Juste pour savoir si je gèle ou si je suis carrément congelé.
On procède par l'absurde, on suppose donc que A n'est pas un corps.
A est principal, donc factoriel. Etant donné un irréductible, disons p, on considère des polynômes judicieux dont au moins l'un es unitaire (bien choisis mais je sais pas qui encore). Reste à démontrer que l'idéal est engendré par un polynôme dont le coef dominant est p. Ce qui prouvera que ce dernier est inversible.
On pourra donc conclure.

Enfin, plus ou moins... regarde l'idéal engendré par X.