identité d'Euler pour les applications homogènes
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identité d'Euler pour les applications homogènes
Posté le 14-06-08 à 20:31
Posté par 
romu romu
Bonsoir,
je bloque sur cette exercice:
J'ai montré l'implication directe, pour l'implication indirecte je tombe sur l'équation=\frac{t}{\alpha} df(tx),\qquad \forall x\in \mathbb{R}^n\setminus \{0\},\ \forall t>0})
,
mais je ne sais pas comment la résoudre
merci pour vos indications.
romu romuBonsoir,
je bloque sur cette exercice:
Citation :
Soit
différentiable.
Montrer que
est homogène de degré 
si et seulement si:
x=\alpha f(x),\qquad \forall x\in \mathbb{R}^n\setminus \{0\})
.
Soit
Montrer que
J'ai montré l'implication directe, pour l'implication indirecte je tombe sur l'équation
mais je ne sais pas comment la résoudre
merci pour vos indications.
re : identité d'Euler pour les applications homogènes Posté le 16-06-08 à 14:27
Posté le 16-06-08 à 14:27Posté par romu romu
Bon je reprends la preuve d'Arkhnor donnée dans l'autre topic.
Soit
. Soit 
. On pose :=f(tx))
.
Par hypothèse, on a=f(tx)=\frac{t}{\alpha} df(tx).x)
.
D'autre part en dérivant, on obtient=df(tx).x)
.
Ainsi
vérifie l'équation différentielle =\frac{t}{\alpha} g'(t))
avec =f(x))
.
Après pour résoudre cette équa diff, j'ai un peu de mal, surtout pour respecter cette condition initiale:
on a l'égalité=\frac{t}{\alpha} g'(t))
,
ie}{g(t)} = \frac{\alpha}{t})
,
ie'(t) = \frac{\alpha}{t})
bon je n'ai encore jamais eu de cours sur les équa diff, mais en physique si je me rappelle bien à partir de cette étape on intégrait les deux membres,
et les bornes dépendent des conditions initiales, alors comment on choisit les bornes?
romu romuBon je reprends la preuve d'Arkhnor donnée dans l'autre topic.
Soit
Par hypothèse, on a
D'autre part en dérivant, on obtient
Ainsi
Après pour résoudre cette équa diff, j'ai un peu de mal, surtout pour respecter cette condition initiale:
on a l'égalité
ie
ie
bon je n'ai encore jamais eu de cours sur les équa diff, mais en physique si je me rappelle bien à partir de cette étape on intégrait les deux membres,
et les bornes dépendent des conditions initiales, alors comment on choisit les bornes?
re : identité d'Euler pour les applications homogènes Posté le 16-06-08 à 15:13
Posté le 16-06-08 à 15:13Posté par romu romu
Salut FF,
comment s'appelle ce genre d'équa diff?
Dans l'écriture:
=C%20exp{-\Bigint\frac{b(t)}{a(t)}dt})
le
à gauche est le même que le à droite? l'intégrale en exposant admet des bornes précises?
romu romuSalut FF,
comment s'appelle ce genre d'équa diff?
Dans l'écriture:
le
re : identité d'Euler pour les applications homogènes Posté le 16-06-08 à 15:19
Posté le 16-06-08 à 15:19Posté par fusionfroide fusionfroide
euh oui c'est le même puisque ce sont l'ensemble des solutions de l'équadiff qui sont sous cette forme.
Tu peux aller voir ici :
fusionfroide fusionfroideeuh oui c'est le même puisque ce sont l'ensemble des solutions de l'équadiff qui sont sous cette forme.
Tu peux aller voir ici :
re : identité d'Euler pour les applications homogènes Posté le 16-06-08 à 20:08
Posté le 16-06-08 à 20:08Posté par Arkhnor Arkhnor
Bonjour.
Une approche à la physicienne (
), si tu n'as pas vu ces équations, serait , une fois arrivé à }{g(t)} = \frac{\alpha}{t})
, d'intégrer l'équation, sans se soucier des bornes pour le moment.
On écrit donc :|) = \alpha ln(|t|) + K_1)
.
On applique l'exponentielle à chaque membre, et on obtient :| = K_2 |t|^{\alpha})
On détermine la constante d'après les conditions initiales.
Juste une remarque concernant l'écriture : = Ce^{-\Bigint\frac{b(t)}{a(t)}dt})
, ca me parait incorrect, car à droite, le t est une variable muette, c'est la variable d'intégration.
J'aurais écrit = Ce^{-\Bigint^{ t}\frac{b(u)}{a(u)}du})
Mais c'est plus une histoire de notations, ce qu'il faut comprendre, c'est que le terme dans l'exponentielle est une primite de
Arkhnor ArkhnorBonjour.
Une approche à la physicienne (
), si tu n'as pas vu ces équations, serait , une fois arrivé à On écrit donc :
On applique l'exponentielle à chaque membre, et on obtient :
On détermine la constante d'après les conditions initiales.
Juste une remarque concernant l'écriture :
J'aurais écrit
Mais c'est plus une histoire de notations, ce qu'il faut comprendre, c'est que le terme dans l'exponentielle est une primite de
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