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parité et DL d'une bijection réciproque
Bonsoir à tous.
Je suis sur exo où on appelle g la fonction définie sur ][
par
g(x) = 2tanx - x .
La première question était de trouver le DL3 en 0 de g, j'ai trouvé
g(x) = x + x3 + o(x3). J'ai eu à montrer qu'elle forme une bijection de ]
[ sur
et que g-1 est de classe C sur
( g' ne s'annule pas sur ][). Là où j'entre en zone de turbulence c'est lorsqu'on me demande de montrer que g-1 est impaire et de trouver son DL3 en 0.
Pour ce qui est du "impaire" je remarque que g est impaire mais j'ignore comment en venir à la parité de g-1, pour l'autre question je pense à la dérivée de g-1, de (g-1og)(x)=x je ne trouve pas plus que (g-1)[g(x)]= .
J'aimerais s'il vous plaît une indication pour ces 2dernières questions.
Je vous remercie d'avance.
Bonjour
Pour simplifier les notations je pose h=g-1, I=]-
/2,/2[. Soit y dans R. Il existe x dans I tel que y=g(x), précisément x=h(y). Comme g est impaire, on a
h(-y)=h(-g(x))=h(g(-x))=-x=-h(y).
Pour le DL: Le développement de h est de la forme h(y)=by+cy3+o(y3) (puisque h est impaire). Je crois que le plus simple est d'écrire
x=h(g(x))=bg(x)+cg(x)3+o(x3)
de remplacer g par son DL que tu as déjà calculé et d'identifier les coefficients.
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