Suite defini par reccurence, convergence

Posté par kimshi_78 kimshi_78

Soit la suite définie par récurrence par
U₀=0 et U_n+1=(4U_n+3)/(U_n+2)
Montrer que la suite converge vers une limite l à déterminer
Comment montrer la convergence d'une suite définie par reccurence ?            

Posté par soucou soucou

Salut,

Tu cherches une application contractante sur un segment stable par telle que et pour tout , .

Cela suffit à démontrer la convergence de la suite.

Posté par soucou soucou

Posté par hsn2b47 hsn2b47

salut soucou je voulais te demander est ce que tu passes un bac S et j'aimerai bien te poser des questions sur cette série car elle m'attire pour faire des études de médecine...réponds stp

Posté par soucou soucou

Euh... Je n'ai jamais passer de bac S et pourtant j'ai eu mon bac (STI), tu fais allusion à la prépa TSI (je vois pas trop le rapport) ? Dans ce cas, c'est plutôt mal barré pour des études en médecine.

Posté par kimshi_78 kimshi_78

je savais pas trop quoi mettre c'est en fait le programme du premier semestre en faq de maths, c'est pas difficile, c'est un peu des révisions approfondies de la Term S.

A part ça merci hsn2b47, par contre tu pourrais me dire si ce que j'ai trouvé est bon ?
lim x->+inf f(x)= lim x->+inf (4x+3)/(x+2)= lim x->+inf [2(x+2) -1]/(x+2) = lim x->+inf 2-1/(x+2) = 2
et donc Un converge vers 2

Posté par soucou soucou

Aie, hsn2b47 et en 3ème... Je ne pense pas qu'il (elle ?) aura besoin de ça au brevet.

Personnellement je trouve que les points fixes de sont , admet par ailleurs une asymptote verticale en , je pense que ça devrait suffire pour dire que converge vers .

A vérifier quand même.

Posté par lafol lafol

Bonjour
une méthode qui peut donner des résultats sur ce type d'exo : résoudre l'équation x=f(x) : on trouve x = 3 ou -1 comme l'a dit soucou
puis étudier la suite définie par : elle est géométrique de raison 1/5. du coup on sait exprimer en fonction de n, puis en résolvant une petite équation, n en fonction de n. à partir de là, la limite est facile à étudier.

Posté par kimshi_78 kimshi_78

Voilà ce que j'ai fait au final :
J'ai utilisé ce théorème
Théorème de convergence :
Soient I un intervalle ,f une fonction définie sur un ensemble Df ayant les propriétés suivantes :

    * I Df et f(I) I (stabilité de I par f )
    * f dérivable sur I et
      il existe un réel k ]0 ; 1[ tel que
      pour tout réel x I on a |f'(x)| k

alors :

    * l'équation f(x) = x admet une solution unique b dans I
    * pour tout réel a de I la suite définie par :

      converge vers b

Posté par kimshi_78 kimshi_78

et donc comme -1 n'appartient pas à I la suite converge vers -3

Posté par kimshi_78 kimshi_78

Est-ce exacte ?

Posté par kimshi_78 kimshi_78

dsl dans le théorème que j'ai cité les signe 'inclu dans' ne sont pas passé

Posté par lafol lafol

Et tu as étudié f avant de dire tout ça ? quel est l'intervalle I utilisé etc ?

Posté par kimshi_78 kimshi_78

En fait dans l'exercice en question on nous demande d'abords
   * d'étudier f sur I=]-2,+inf[ (sens de variation, allure de la courbe)
Je trouves qu'elle est  croissante et lim x->-2 f(x)=-inf et lim x->-2 f(x) = +inf
f admet une asymptote en -2 et f(1)=2,3 , f(100)=7/3 dc f croit très lentement (mais ça on s'en ***)
  
   *résoudre f(x)=x
On trouve x={-1,3}

Pour ce qui est du reste j'obterais pour l'intervalle [0,+inf[


PS : Comment vous faites pour écrire en mathématiques ?
     Et je ne comprends pas très bien ta méthode lafol

Posté par kimshi_78 kimshi_78

*oups je voulais mettre f(100)=4

Posté par lafol lafol

il faut bien vérifier que f(I) inclus dans I, sinon, la méthode ne marche pas

"ma" méthode repose sur des choses élémentaires : calculer , remarquer que ça vaut , donc v géométrique, donc calculable explicitement, puis en résolvant v(u+1) = u-3, exprimer u_n en fonction de v_n puis de n. on a alors une expression explicite de u qui permet de calculer sa limite directement.