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probleme avec valeurs propres

Posté par
severinette
15-06-08 à 23:36

Bonsoir , si j'ai cette matrice :

1 -1 1
3 -4 8
5 -6 10

j'applique gauss ce qui me donne :

1 -1 1
0 -1 5
0 0 0

je calcule son polynome caractéristique et je trouve (1-x)(x+x²) ce qui me donne comme valeurs propres 1 , 0 et -1 . Mais il parait que j'ai faux et que -1 est racine double , quelqu'un voit il une erreur ?

merci

Posté par
PIL
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:00

Bonsoir,

Quand tu dis "j'applique Gauss", les opérations que tu fais modifient les valeurs propres de ta matrice ...

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:02

faut savoir , j'ai fait ça hier et on m'a applaudit j'avais tout bon , donc on peut pas appliquer gauss pour trouver des valeurs propres ?

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:09

bon alors je dois calculer le déterminant de ça :

3-x -4 8
5 -6-x 10
1 -1 1-x

je remarque que tous les termes diagonaux je peux les factoriser par 1-x mais c'est quoi le truc ici j'ai jamais compris comment calculer un déterminant en le simplifiant quelqu'un connait la méthode sans me donner la réponse ?

merci

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:12

Bonsoir
pourquoi tu n'appliques pas Gauss sur la matrice A-xI ?

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:13

Tu peux par exemple exploiter le 1 et le -1 sur la dernière ligne : un zéro facile en perspective

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:15

ça va etre très très difficile j'ai jamais appliqué gauss quand ya des X...je ne vois pas comment faire pour appliquer gauss dans ce cas..

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:29

tu peux remplacer la première colonne par 1° + 2° : pour avoir ce 0 en bas. et tu vas voir, ça arrange tes affaires

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:31

regardez j'arrive à ça :

3-x -1-x 8+(3-x)(x-1)
5 -5-x 10+5(x-1)
1 0 0

et quand on développe par rapport à la dernière ligne on obtient ça :

-1-x 5-4x-x²
-1-x 5x-5

il sort d'où ce déterminant 2*2 ? par exemple dans le 5x-5 on dirait qu'ils ont oublié le 10...

qui a une explication ?

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:41

3-x -4 8
5 -6-x 10
1 -1 1-x

remplace colonne 1 par col1 + col 2 :

\(\begin{array}-1-x&-4&8\\-1-x&-6-x&10\\0&-1&1-x\end{array}\)

tu mets -1-x en facteur dans la première colonne, puis tu remplaces L2 par L2-L1

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:44

non mais lafol j'ai déjà tous le corrigé de l'exo mais je comprends pas le déterminant 2*2 trouvé à mon message 00:31 , comment ils arrivent à ça , ça veut dire quoi développer par rapport à la dernière ligne , ils se sont plantés on dirait...

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 00:59

ton message de 00:31, je n'ai jamais vu des calculs aussi compliqués pour obtenir des valeurs propres ! tu as le détail des combinaisons de lignes ou de colonnes qui ont été faites ?

Posté par
PIL
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:02

Mais non Séverinette, on peut développer un déterminant selon une ligne ou une colonne; c'est la règle de Laplace, tu la trouves dans tous les exposés sur les déterminants.

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:05

lafol ok j'abandonne mon message et je repars du tien de 00h41 , tu dis factoriser par -1-x , mais c'est pas possible car 1ere ligne 2eme colonne j'aurais -4/(-1-x) , ça complique encore plus non ?

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:05

Bonsoir PIL
il y a quand même des incohérences entre son déterminant de 00:41 et le sois disant développement par rapport à la dernière ligne, non ? au minimum deux fautes de frappe

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:07

dans un déterminant on peut mettre en facteur quelque chose dans une ligne au choix, ou dans une colonne au choix.
ici, on obtient
(-1-x)\|\begin{array}1&-4&8\\1&-6-x&10\\0&-1&1-x\end{array}\|

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:12

ok lafol , et finalement on a 2 zéros sur la 1ere colonne , j'ai compris merci bcp   , en fait le but c'est d'obtenir 2 zéros sur une ligne ou une colonne

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:13

tu remplaces Ligne 2 par ligne 2 moins ligne 1 :
(-1-x)\|\begin{array}1&-4&8\\0&-2-x&2\\0&-1&1-x\end{array}\|
puis tu développes par rapport à la première colonne :
(-1-x)\|\begin{array}-2-x&2\\-1&1-x\end{array}\|
tu mets (-1) en facteur dans la première colonne :
(1+x)\|\begin{array}2+x&2\\1&1-x\end{array}\| = (1+x)((2+x)(1-x)-2)=(1+x)(-x-x^2)=-x(1+x)^2

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:14

voilà, oui

Posté par
severinette
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:15

merci bcp j'ai mis un peu de temps mais j'ai mieux saisi maintenant , merci

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:17

c'est l'essentiel

Posté par
PIL
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:21

Bonsoir lafol,

Oui, j'en vois même trois; mais je ne comprends pas comment Séverinette trouve le déterminant 3x3 de 00:31. C'est mieux qu'elle reparte du tien ...

Posté par
PIL
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:22

oups j'ai pris du retard, je vais aller dormir ...

Posté par
lafol Moderateur
re : probleme avec valeurs propres 16-06-08 à 01:25

bonne nuit



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