Forum : énigmes :
Gymnastique afgébrique 04

bonsoir à tous
>>Jandry

Je ne vois pas où est-ce qu'on a fait une erreur ce matin.
Les 2 sphères sont sur la diagonale de la face, et sur celle du plan diagonal.
Non, après maintes vérifications je vois pas.
Je maudis le récent formatage de mon PC, il y avait bip...(un logiciel) pour vérifier...

Sur ce bonsoir tout le monde !

moi je la vois, dans ton plan elles ne coupent pas les faces du cubes, mais en dehors de ton plan, elles le coupent, si tu avais eu un plan similaire au face du cube, cela aurait fonctionné, mais la c'est un rectangle (non carré XD) , alors que la face du cube est un carré.

bon ben, à moins de m'être trompé, je vous livre mes élucubrations ( huez-moi si j'ai dit de grosses bêtises ... )

Pour parler des mêmes points du cube, j'appelle ABCD les 4 points du carré du bas et EFGH ceux du carré du haut et O le centre du cube de côté X

Pour des raisons de symétrie, j'ai dit que les 2 boules de centre P (en bas ) et Q (en haut) étaient jointives en O et étaient collées aux trois faces du coin A pour la boule du bas et aux trois faces du coin G pour la boule du haut

Ainsi P et Q se trouvent sur la grande diagonale AG telle que AG² = AC² + CG² = AB²+BC²+CG² = 3X² donc AG = XV3

En me mettant dans le plan ACG, j'ai AG = AP + PO + OQ + QG où PO = OQ = R = 1

Pour AP et QG, j'ai des doutes : P projété sur ABCD donne P' tel que AP' = V2; comme P'P = 1 on a alors AP = V3

et donc AG = 2 + 2V3 et AG = XV3

ainsi :



d'où :



Dans ma formule initiale, j'avais un AP = V2 qui donnait un X inférieur à 3

Maintenant, je ne pense pas avoir vu cette valeur 3,1547 dans les propositions fournies

peut-être est-ce moi qui me suis planté ?

En revanche, en examinant le cube sous toutes ses coutures, je suis certain que les 2 boules sont bien DANS le cube

Ce dont je ne suis pas sûr, c'est :

¤ n'ai-je pas fait d'erreur de calcul ( mauvaise projection ou oubli de projection ) ?

¤ est-ce vraiment la plus petite distance X ?

Y voyez-vous des erreurs ?

si, si, sous la forme , jandri a donné cette valeur à 19:57

La diagonale du cube recherché vaut .

Le coté du cube vaut donc =

bonjour,
>>Mykayaou
hier j'avais en refaisant le calcul j'avais moi aussi trouvé cette valeur qui semble bien être le minimum
on ne voit pas comment on pourrait placer les boules pour qu'elles tiennent moins de place

bonjour veleda,

je n'ai pas vu ta proposition avec cette valeur, veleda

Merci à tous pour votre participation

Bonjour à tous, j'ai trouvé mais un peu tard !

Voici le dessin, il s'agit toujours du plan diagonal :



On résout ensuite l'équation :
(2V2+2cos@)/V2 = 2+2sin@

On trouve cos @ = V(2/3) et sin @ = V3/3

d'où c = 2+2V3/3 = 3.1547...

Voilà une nouvelle vérif...un peu tard !

Merci pour l'énigme !

bonjour Mikayaou

Bonjour tout le monde.

J'arrive seulement et je ne sais pas si quelqu'un a trouvé.
Je propose quand même ma solution

Rebonjour

Je vois mon erreur (grossière): j'ai dit que les deux sphères sont tangentes aux arêtes du cube...

au vu des interventions, y'a des trucs que je ne comprends pas, suis-je dans l'erreur ?

¤ dessin de MV à 9:54

les 2 centres des boules doivent être sur la grande diagonale , non ?

pour ma part, avec les notations, A B C D E F G H P Q et O de mon post d'hier, j'ai cette coupe ACGE :



----------------

¤ l'intervention de rogerd à 18:22

Les deux boules sont bien tangentes aux faces du cube, non ?

pour ma part, en vue de face, j'ai la face ABFE suivante :



Est-on d'accord, ou suis-je à côté de la plaque ?

nota : j'ai du mettre des primes aux lettres car j'ai fait les 2 dessins sur SQN et je ne pouvais pas mettre les mêmes noms à des points différents
Dans l'espace, ce sont les mêmes points...

bonsoir mikayaou.

J'ai déjà confessé mon erreur à 18 heures 22

citation :
confessé

je comprend pas, rogerd a la même valeur que toi mika non?

mais rogerd, quand tu dis :

Je vois mon erreur (grossière): j'ai dit que les deux sphères sont tangentes aux arêtes du cube...

il me semble, moi, que c'est vrai, non ?

-----------------

> simon

y'a du racine(2) dans sa formule, non ?

ahhhhhhhhh oui, pardon

sauf erreur, la boule du bas est en contact avec :

¤ ABCD en bas
¤ ADHE à gauche
¤ ABFE à droite
¤ la boule du haut en O

idem pour la boule du haut

la représentation dans le plan ACGE peut laisser penser, à tort, que les boules ne sont pas en contact avec les côtés du cube

est-on d'accord ? vos remarques me font douter...

Bonsoir
mika, tangentes aux faces et aux arêtes, ce n'est pas tout à fait pareil

lafol, une boule dans un cube ne peut pas être tangente à une arête, ça c'est impossible, non ?

je ne pense pas que rogerd ait voulu dire cela, si?

bonsoir
pour répondre un peu tard à ton post de7h45 que je découvre maintenant j'ai bien trouvé la même chose que toi hier mais je n'ai pas posté mon résultat j'ai juste dit à jandry que j'avais la m^me chose que lui
une sphère est bien tangente à trois faces :deux latérales et la base pour ta sphère du bas mais elles ne sont pas tangentes aux arêtes (c'est l'erreur collective d'hier matin)  
le seul point de contact de la sphère d'en bas avec la face de base est sur la diagonale AC,je ne comprends pas la seconde figure du post de 18h57

citation :
Je vois mon erreur (grossière): j'ai dit que les deux sphères sont tangentes aux arêtes du cube...

c'est lui qui le dit
comme je ne désespère pas d'avoir le temps de m'y coller (je ne serais pas du tout partie comme ce que plusieurs ont mis en clair, pour le moment cette énigme conserve son intérêt ...), j'essaie de résister à la tentation de voir ce qu'il a réellement fait sous son blanqué ..... Si vraiment il a cherché les sphères tangentes aux arêtes, elles auront du mal à rester à l'intérieur du cube ...

>veleda + lafol

je ne vois pas comment on peut tenter un calcul en disant qu'une boule, intérieure à un cube, puisse être  tangente à une des arêtes de ce cube
N'est-ce pas un abus de langage pour dire "tangente à une face", non ?

> veleda
sauf erreur, comme indiqué dans mon post de 18:47, la figure du bas présente la vue du cube transparent selon la face ABFE, la boule du bas étant en premier plan, cachant celle du haut en arrière plan.
chacune des boule étant tangente à trois faces du coin A pour la boule du bas, et du coin G pour celle du haut

si un pro du dessin en 3D savait représenter ce cube transparent de côté 2(3+V3)/3 contenant 2 boules rouge et verte de rayon unitaire ...

vl'a toujours une figure

Bonsoir lafol,

Beaucoup plus parlant en effet. Manquent juste les points de contact.
Nan... C'est très bien comme ça.

Pour me faire pardonner la grosse bêtise que j'ai dite hier, je vous propose une autre méthode, qui me paraît simple:

Pour que les sphères soient à l'intérieur du cube de côté X, leurs centres doivent être à une distance supérieure ou égale à 1 de chaque face. Cela localise ces centres dans un cube de côté X-2 intérieur au premier.

Il faut en plus que les sphères soient extérieures l'une à l'autre, donc que la distance des centres soit supérieure ou égale à 2. Il s'agit donc de loger un segment de longueur supérieure ou égale à 2 dans un cube de côté X-2.

Or le plus grand segment qu'on peut loger dans un cube joint deux sommets opposés du cube. Ici, sa longueur est (par Pythagore).

Il faut donc que .

Cela conduit au X minimum trouvé par mikayaou:

Rebonjour à tous!

Je pense maintenant à la Gymnastique afgébrique 05 que mikayaou concocte: trouver le plus petit cube contenant trois sphères de rayon 1:

bonjour à tous

merci pour la figure lafol : tu l'as faite avec quoi ?

salut rogerd

je ne la concocte plus car elle dépasse ma compétence...

entre temps, rogerd, la [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_05 a été affectée à

Bonjour mikayaou

As -tu lu mon message de 7 h 12 ?

Par ailleurs, le problème avec 3 sphères, qu'on lui donne un nom ou un autre, demeure intéressant. Si tu as renoncé à t'y attaquer, je te suggère de lire mon message blanké de 7h 31.

oui rogerd

même si je ne les comprends pas tous, j'essaie de lire tous les messages

Les deux tiens que tu cites, je les ai lu...mais pas encore compris

Je m'excuse d'être souvent trop "elliptique".

Ici, sera-ce plus clair si j'ajoute:

Si une sphère S est centrée en C situé d'un certain côté d'un plan P, elle a tous ses points du même côté de P si et seulement si la distance de C à P est supérieure au rayon de S. Si ce rayon est imposé et égal à 1, on est dans le cas de figure précédent si C est du bon côté d'un certain plan P1 parallèle à P et situé à la distance 1 de P.
Dans notre exercice, on veut que la sphère ait tous ses points d'un même côté de chacune des 6 faces du cube de côté X, ce qui impose au centre C d'être du bon côté de chacun de 6 plans tels que P1. Ces 6 plans délimitent un cube K de côté X-2, intérieur au premier.
Maintenant, on prend deux sphères ayant cette propriété, et extérieures l'une à l'autre. La distance de leurs centres est donc supérieure à la somme de leurs rayons, qui est égale à 2.
Il faut donc placer dans notre cube K deux points distants de 2 au moins.
Les couples de points les plus éloignés dans un cube sont les couples de sommets opposés et, si le côté du cube est X-2, leur distance est . Il faut donc .
Cela nous mène au X minimum que tu as trouvé.

Bonjour
la figure est faite avec geospace, en plaçant les sommets du cube par coordonnées d'après la longueur donnée par mika quand il demandait la figure, et les centres comme intersections d'une diagonale avec les plans parallèles à deux faces opposées et éloignés de 1 des dites faces.

ok lafol, merci

sais-tu lui demander, à ton geospace, de faire une représentation de l'intersection du plan ADB'C avec les deux boules ?

j'ai supposé que centres O1 et O2 étaient dans ce plan, sur la diagonale AB'

merci

bien sûr !
une minute

voilà, perspective avec le plan diagonal de face

sais-tu faire un plan de coupe ?

...selon ACC'A' de ta dernière figure ?

voilà

mais il y en avait déjà plus haut, des coupes comme ça ...

oui lafol-merci-

sauf que là, c'est un outil qu'il l'a faite (en fonction de tes conditions introduites plus haut )

celle que j'avais faite à 18:57 ( corrigeant celle de MV à 9:54 ) était le fruit de mes réflexions pour lesquelles j'avais des doutes...

En fait, j'ai justement vérifié que l'angle @ etait é gal à l'angle de la dioagonale.
J'avoue que mon déssin était vraiment "opifomètre" !
Je suis tout à fait d'accord (que de jolis déssins).
Bon je voulais aussi annoncer à simon et à mika, qu'ils seront naturellement responsable de ma note au bac de fraçais...

mikayaou

J'ai peur que mes explications de 9 h 16 ne soient pas plus claires que les précédentes?

désolé rogerd, je ne t'ai pas oublié mais...

...les conditions de "multi-tâche" dans lesquelles je travaille actuellement ne me permettent pas d'octroyer suffisament de ressource à tes explications
(en clair, il me faudrait plus de concentration, que mes autres activités en // ne me permettent...)

promis, ce soir, je me plonge dans tes explications

merci encore

Coucou à tous

Moi ce que je comprends pas, c'est que le tout premier message de mika parle d'un cube...

Ici, toutes les figures qui nous sont présentées ne sont que des pavés...


Vous pouvez peut-être m'éclairer s'il vous plait ?

Merci


Jibou

Bonjour JBT !

Il s'agit du plan diagonal du cube (comme si on le coupait en travers).

Ah d'accord ! Je vois très bien !


Merci beaucoup et excusez-moi


Jibou