Théorème de prolongement de Tietze ds le rudin

Posté par jevenise jevenise

Dans le livre de Rudin (analyse réeele et complexe 3°édition p433/434), la preuve du théorème se fait sans le théorème de Weirstrass (ds sa forme générale, démonstratino que j'ai comprise) mais seulement avec le lemme d'Urysohn et une itération. Cependant je ne saisis pas l'initialisation, j'ai d'abord penser à une erreur typographique mais comme c'est la troisième édition et que la démo est la même ds les versions précédentes : j'en ai conclu à ma propre incapacité!
La preuve semble pourtant simple, je dois beuguer! je ne saisis pas le premier encadrement (-1/3=<f=<1/3 sur X) ni la première inégalité (|f-f1|=<1/3 sur K))
Si quelqu'un peut éclairer ma lanterne, je l'en remercie d'avance.

Posté par PIL PIL

Bonjour,

Pour le premier encadrement  -1/3f11/3  :  la fonction f1 est la somme de deux fonctions f⁺ et f^- données par le lemme de Urysohn ; on prend deux ouverts disjoints V⁺ et V^- contenant K⁺ et K^-, f⁺ vaut 1/3 sur K⁺ et 0 hors de V⁺  tandis que f^- vaut -1/3 sur K^- et 0 hors de V^-; et on pose  f1 = f⁺ + f^-.
Pour la première inégalité, note que c'est: va(f - f1) 2/3 sur K, et on le vérifie en prenant successivement x dans K⁺, K^- et "ailleurs" ( c'est là qu'on trouve 2/3 ).
Es-tu d'accord ?

Posté par jevenise jevenise

je n'étais pas réveillé, c'était une erreur typographique f au lieu de f1 pour l'encadrement, l'inégalité est ensuite en effet très clair (c'est moi qui l'avait mal recopié).
En tout cas merci!