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exercices* système diophantien 2 *

#msg1914753 Posté le 16-06-08 à 14:45
Posté par Profilsimon92 simon92

Hello,
encore un petit
4$\{{\sqrt{3x}(1+\frac{1}{x+y})=2\atop \sqrt{7y}(1-\frac{1}{x+y})=4\sqrt{2}

Amusez vous bien

Edit Coll : forum modifié (merci Estelle ! Bon courage pour cette semaine)
re : * système diophantien 2 *#msg1914760 Posté le 16-06-08 à 14:50
Posté par Profilmikayaou mikayaou

salut simon

x et y sont bien sous les racines ?

re : * système diophantien 2 *#msg1914762 Posté le 16-06-08 à 14:54
Posté par Profilmikayaou mikayaou

x = 1/3 et y = 2/3 ?

j'ai pas vérifié...

y'a pas de blanqué ?

re : * système diophantien 2 *#msg1914767 Posté le 16-06-08 à 14:57
Posté par Profilmikayaou mikayaou

oops, je reprends...

re : * système diophantien 2 *#msg1914768 Posté le 16-06-08 à 14:57
Posté par Profilsimon92 simon92

Sisi, blankés, c'est dans Z qu'il faut le resoudre (diophantien).
Les x et y sont, comme dans le latex, sous les racines
re : * système diophantien 2 *#msg1914773 Posté le 16-06-08 à 15:01
Posté par Profilsimon92 simon92

mince qu'est ce que ca fout dans expresso ?
(la veritable question c'est pourquoi, je l'ai mis dans expresso)
Ca serait plutot dans détente, si quelqu'un pouvait l'y envoyer
re : * système diophantien 2 *#msg1914779 Posté le 16-06-08 à 15:09
Posté par Profilmikayaou mikayaou

je te comprends pas

si x et y sont sous la racine, c'est donc dans N, non ?

ou la racine va jusqu'au bout ?

pas clair, ton énoncé, simon

re : * système diophantien 2 *#msg1914781 Posté le 16-06-08 à 15:11
Posté par Profilsimon92 simon92

bah on voit, a priori si on lit ce qui est écrit, la racine englobe les x et y.
re : * système diophantien 2 *#msg1914784 Posté le 16-06-08 à 15:12
Posté par Profilsimon92 simon92

mhhhh enfin flute, c'est dans \mathbb{R}.
en fait, je le cherche aussi celui la, donc j'ai pas la solution
re : * système diophantien 2 *#msg1914788 Posté le 16-06-08 à 15:20
Posté par Profilmikayaou mikayaou



je trouvais des réels...

x = 0,0198569 et y = 0,1191414

re : * système diophantien 2 *#msg1914791 Posté le 16-06-08 à 15:21
Posté par Profilsimon92 simon92

tu es sur? ca me parait bizarre, avec ces valeurs, je trouve bien 2 pour le premier, mais un truc négatif pour le second
re : * système diophantien 2 *#msg1914796 Posté le 16-06-08 à 15:26
Posté par Profilsimon92 simon92

j'aimerai bien que ce soit mis dans détente pour blanker masi faut attendre ...
re : * système diophantien 2 *#msg1914799 Posté le 16-06-08 à 15:26
Posté par Profilmikayaou mikayaou

tu as raison, ça colle pas pour le y : un problème lors de l'élévation au carré...

re : * système diophantien 2 *#msg1914833 Posté le 16-06-08 à 15:55
Posté par Profilmikayaou mikayaou

un truc bien moche

x = 1,00233 et y = 5,51838

A vérifier

re : * système diophantien 2 *#msg1914835 Posté le 16-06-08 à 15:55
Posté par Profilmikayaou mikayaou

sûrement pas diophantien

re : * système diophantien 2 *#msg1914843 Posté le 16-06-08 à 15:59
Posté par Profilsimon92 simon92

la encore, ca me semble bien loingtain du second
re : * système diophantien 2 *#msg1914852 Posté le 16-06-08 à 16:07
Posté par Profilmikayaou mikayaou

en effet, je me plante tjs dans des histoires de carré et de racine...la honte !

et ne parviens pas à m'y mettre de façon continue...

re : * système diophantien 2 *#msg1914853 Posté le 16-06-08 à 16:08
Posté par Profilsimon92 simon92

moi aussi je fais que de faire des erreurs de calculs,mais je ne pense pas qu'on ait la même méthode.
re : * système diophantien 2 *#msg1914857 Posté le 16-06-08 à 16:13
Posté par Profilmikayaou mikayaou

et çui-là ?

x = 1,0277621 et y = 6,166573 ?

re : * système diophantien 2 *#msg1914862 Posté le 16-06-08 à 16:19
Posté par Profilsimon92 simon92

oui, je crois que ca c'est bon
Après je sais pas si c'est le seul
Tu as fait comment, au carré et truc brutal, ou tu as une astuce, parce que moi l'on m'a dit que l'on pouvait passer par les complexes, et je me debrouille pas bien, je suis plutot habitué a mettre au carré
re : * système diophantien 2 *#msg1914903 Posté le 16-06-08 à 17:03
Posté par Profilmikayaou mikayaou

je cherche comment les complexes peuvent intervenir

ma méthode est :

de (1) j'exprime x

de (2) j'exprime y

je somme x+y que j'appelle u

et j'ai une équation en u^4 à résoudre qui donne u = 7,194335...

et je tire x et y de (1) et (2)

Tu n'as pas d'autre info sur l'utilisation des complexes ( module, argument... ) ?

re : * système diophantien 2 *#msg1914909 Posté le 16-06-08 à 17:06
Posté par Profil_Estelle_ _Estelle_

Merci Cool !

Estelle
re : * système diophantien 2 *#msg1914911 Posté le 16-06-08 à 17:06
Posté par Profil_Estelle_ _Estelle_

* Coll

Estelle
re : * système diophantien 2 *#msg1914913 Posté le 16-06-08 à 17:08
Posté par Profilsimon92 simon92

non, justement, je pense qu'il y a une solution élégente, puisque c'était un exercice d'olympiade (vietnamienne je crois) donc a priori, la réponse c'est pas un truc comme ce que tu as fait (c'est pas que ce soit bourrin, mais, je pense que ton u, tu l'a résolu graphiquement non?).

Les complexes interviennent comme dans le premier système que j'avais poster, ici, j'aurais tendance a poser rac(x)=u et rac(y)=v pour obtenir des u des v et des u²+v² soit des z\bar{z} avec z=u+iv
re : * système diophantien 2 *#msg1914943 Posté le 16-06-08 à 17:37
Posté par Profilmikayaou mikayaou

yesss, on peut utiliser le blanqué ( est-ce encore nécessaire ? )

merci à Estelle et Coll

re : * système diophantien 2 *#msg1914946 Posté le 16-06-08 à 17:38
Posté par Profilsimon92 simon92

si quelqu'un a une solution, pourquoi ne pas la blanker... mais il est vrai que jusque la on a pas vraimenet blanké
re : * système diophantien 2 *#msg1914951 Posté le 16-06-08 à 17:40
Posté par Profilmikayaou mikayaou

oui, simon, au début c'est tout à fait légitime

mais ici, à notre stade de réflexion ( on est bloqué ), est-ce bien encore nécessaire ?

mais je peux me tromper

re : * système diophantien 2 *#msg1914956 Posté le 16-06-08 à 17:44
Posté par Profilsimon92 simon92

oui oui je suis d'accord pas de problème, je dis juste que c
re : * système diophantien 2 *#msg1914957 Posté le 16-06-08 à 17:45
Posté par Profilsimon92 simon92

je dis juste rien du tout^^
re : * système diophantien 2 *#msg1914968 Posté le 16-06-08 à 17:53
Posté par Profilmikayaou mikayaou

je ne vois pas quel outil complexe utiliser pour faire apparître ( 1 + 1/(x+y) ) et ( 1 - 1/(x+y) )

re : * système diophantien 2 *#msg1915191 Posté le 16-06-08 à 20:43
Posté par Profilmikayaou mikayaou

personne pour utiliser un outil "complexe" permettant de résoudre ce système ?

un système, chez les complexes, peut être :

Re(z1) = Re(z2)
Im(z1) = Im(z2)

ou

|z1| = |z2|
arg(z1) = arg(z2)

est-ce exploitable ?

re : * système diophantien 2 *#msg1915211 Posté le 16-06-08 à 21:08
Posté par Profilsimon92 simon92

bah moi j'avais un truc tout a l'heure, mais avec mes récurrentes erreurs de calcul j'arrivais a rien, je commence et vous voyez si ca peut vous servir
On pose u=\sqrt{x} et v=\sqrt{y} et z=u+iv
On arrive a
\sqrt{3}u\(1+\frac{1}{|z|^2}\)=2
\sqrt{7}v\(1+\frac{1}{|z|^2}\)=4\sqrt{2}

En deux coup de cuillère a pot
\sqrt{21}u\(1+\frac{1}{|z|^2}\)=2\sqrt{7}
\sqrt{21}v\(1+\frac{1}{|z|^2}\)=4\sqrt{6}

On passe le |z|^2:
|z|^2(\sqrt{21}u-2\sqrt{7})=-\sqrt{21}u
|z|^2(\sqrt{21}v-4\sqrt{6})=\sqrt{21}v

On multiplie la deuxième ligne par i:

|z|^2(\sqrt{21}u-2\sqrt{7})=-\sqrt{21}u
|z|^2(\sqrt{21}vi-4\sqrt{6}i)=\sqrt{21}vi

On somme (presque trop facile )

|z|^2 (\sqrt{21}z-2\sqrt{7}-4\sqrt{6}i)=-\sqrt{21}\bar{z}

et c'est super cool, parce qu'on va supposer z différent de 0, comme |z|^2=z\bar{z}
on arrive a z(\sqrt{21}z-2\sqrt{7}-4\sqrt{6}i)=-\sqrt{21}

J'ai envie de dire cool, on a plus qu'a résoudre, mais je fait que de me gourrer dans mes calculs snif snif

En espérant m'ont idée de cet aprèm ne soit pas completement a coté

re : * système diophantien 2 *#msg1915215 Posté le 16-06-08 à 21:09
Posté par Profilsimon92 simon92

(le programme de cette semaine (a part le bac ), quelques exos sur les suites )
re : * système diophantien 2 *#msg1915233 Posté le 16-06-08 à 21:19
Posté par Profilsimon92 simon92

pas une bonne idée?
re : * système diophantien 2 *#msg1915234 Posté le 16-06-08 à 21:20
Posté par Profilsimon92 simon92

quand je dis on va supposer, c'est plutot, il est clair que z est non nul: puisqu'on a 1/|z|^2 au début
re : * système diophantien 2 *#msg1915258 Posté le 16-06-08 à 21:36
Posté par Profilsimon92 simon92

bon je m'eclipse, mais je pense que tout es trouvé, a part les erreurs de calcul, ca m'a l'air de marcher, j'aimerai bien qu'on me valide ca tout de même
re : * système diophantien 2 *#msg1915281 Posté le 16-06-08 à 22:17
Posté par Profilsimon92 simon92

juste evidement a la deuxième ligne du système ou |z|^2 est encore en denominateur, il s'agit d'un "-"
re : * système diophantien 2 *#msg1915282 Posté le 16-06-08 à 22:19
Posté par Profilmikayaou mikayaou

ainsi qu'à la 4° de LaTeX...

re : * système diophantien 2 *#msg1915365 Posté le 17-06-08 à 06:58
Posté par Profilsimon92 simon92

bon, bah effectivement, je crois bien que ce que j'ai fait est bon, je trouve comme solution x=\frac{9+4\sqrt{7}}{21} et y=\frac{22+8\sqrt{7}}{7}
Je poste un corrigé detaillé dès ce soir
re : * système diophantien 2 *#msg1915366 Posté le 17-06-08 à 07:02
Posté par Profil_Estelle_ _Estelle_

Bonne chance pour l'histoire géo, Simon !

Estelle
re : * système diophantien 2 *#msg1915371 Posté le 17-06-08 à 08:04
Posté par Profilmikayaou mikayaou

salut simon

ton x est faux : la valeur numérique n'est pas celle que j'ai trouvée le 16/06/2008 à 15:55

dans la série "calculs bourrins", on donne actuellement

ta méthode a cependant l'intérêt d'avoir une expression à base de racines, et de jouer avec les complexes...

re : * système diophantien 2 *#msg1915421 Posté le 17-06-08 à 10:43
Posté par Profilmikayaou mikayaou

Pour ma part, je trouve :

5$ \red \textrm \fbox{x = \frac{11+4\sqrt{7}}{21} et y = 6x = \frac{22+8\sqrt{7}}{7}}

A vérifier

re : * système diophantien 2 *#msg1915503 Posté le 17-06-08 à 12:12
Posté par Profilsimon92 simon92

10 minute sur l'ordi du CDI.. j'ai pas mon brouillon, mais ce que j'ai fait hier soir c'est ca:


Bon alors je reprend:
on pose u=\sqrt{x} et v=\sqrt{y}.
\sqrt{3}u\(1+\frac{1}{|z|^2}\)=2
\sqrt{7}v\(1-\frac{1}{|z|^2}\)=4\sqrt{2}
soit \sqrt{21}u\(1+\frac{1}{|z|^2}\)=2\sqrt{7}
et \sqrt{21}v\(1-\frac{1}{|z|^2}\)=4\sqrt{6}

|z|^2(\sqrt{21}u-2\sqrt{7})=-\sqrt{21}u
|z|^2(i\sqrt{21}v-i4\sqrt{6})=\sqrt{21}iv

On somme et on a |z|^2(\sqrt{21}z-2\sqrt{7}-4\sqrt{6}i=-\sqrt{21}\bar{z}
Soit z^2-2\frac{(\sqrt{7}+2\sqrt{6}i)}{\sqrt{21}}z+1=0
\(z-\frac{(\sqrt{7}+2\sqrt{6}i)}{\sqrt{21}}\)^2+\frac{21-(\sqrt{7}+2\sqrt{6}i)^2}{21}
\(z-\frac{(\sqrt{7}+2\sqrt{6}i)}{\sqrt{21}}\)^2+\frac{38-4\sqrt{42}i}{21}

on calcul la racine de \frac{38-4\sqrt{42}i}{21}
|z|=46/21
\sqrt{z}=\frac{z+|z|}{2(Re(z)+|z|}
Soit \sqrt{z}=\frac{4-\frac{4\sqrt{2}i}{\sqrt{21}}}{8}
\sqrt{z}=\frac{1}{2}-\frac{i}{\sqrt{42}}

On remplace, \(z-\frac{(\sqrt{7}+2\sqrt{6}i)}{\sqrt{21}}\)^2-(\frac{1}{\sqrt{42}+\frac{i}{2} )^2
z=\frac{(\sqrt{7}+2\sqrt{6}i)}{\sqrt{21}}+\frac{1}{\sqrt{42}}+\frac{i}{2}=\frac{\sqrt{14}+1}{\sqrt{42}}+i\frac{4\sqrt{6}+\sqrt{21}}{2\sqrt{21}}
A priori j'ai plus qu'a mettre u et v au carré mais je dois y aller d'urgence, donc je le ferais ce soir, j'ai peut-être fait des fautes, je sais juste que j'ai pas le même résulat qu'hier soir, mais la j'ai vraiment pas le temps de vérifier.

Bonne journée

merci estelle

Mika>> tu as trouvé avec ma méthode ou avec une autre, car j'ai bien l'impression que la seule méthode possible soit celle que j'ai employée. A moins que tu en ai une autre
A ce soir
re : * système diophantien 2 *#msg1915505 Posté le 17-06-08 à 12:13
Posté par Profilsimon92 simon92

sinon mika, il est possible que ce soit un 11 tout ce que je sais c'est que sur mon brouillon le résultat marchait
re : * système diophantien 2 *#msg1915512 Posté le 17-06-08 à 12:18
Posté par Profilmikayaou mikayaou

ça ne peut pas être un neuf, simon

je me demande si on ne saurait parvenir à y = 6x plus facilement ? si ça intéresse un cador de l'...?  cette relation y = 6x semble déterminante ...mais comment l'obtenir ?

en tout cas, ce serait celle qui serait sûrement la plus "sioux" par rapport à nos deux méthodes, celle de simon et la mienne

re : * système diophantien 2 *#msg1915751 Posté le 17-06-08 à 15:59
Posté par Profilsimon92 simon92

c'est quoi ta méthode, parce que jusqu'a présent, ta méthode ne donne rien a part une approximation faite a la calculatrice ou avec sine qua non ou je ne sais quoi. C'est pas mathématiques quoi
re : * système diophantien 2 *#msg1915754 Posté le 17-06-08 à 16:01
Posté par Profilmikayaou mikayaou

en effet, ce n'est pas mathématique

re : * système diophantien 2 *#msg1915834 Posté le 17-06-08 à 16:30
Posté par Profillyonnais lyonnais

Salut mikayaou :

Mathématica donne ça comme solutions :



re : * système diophantien 2 *#msg1915846 Posté le 17-06-08 à 16:33
Posté par Profilsimon92 simon92

oui ce qu'on (mika) a trouvé
re : * système diophantien 2 *#msg1915848 Posté le 17-06-08 à 16:33
Posté par Profillyonnais lyonnais

Précision :

Il accepte les racines complexes, donc ne pas sauter de sa chaise quand on voit une racine de x avec x complexe !

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