éléments primitifs

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éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:12

Posté par fusionfroide

Salut

On se place dans un anneau A principal et $f(X)=a_0+a_1X+...+a_nX^n$ dans $A[X]$

On définit $C(f)=pgcd(a_0,a_1,...,a_n)$

On veut montrer que $C(fg)=C(f)C(g)$

Donc on commence par poser $f=C(f)f_1$ et $g=C(g)g_1$ où $f_1$ et $g_1$ sont primitifs.

Alors $fg=C(f)C(g)f_1g_1$ donne $C(fg)=C(f)C(g)C(f_1g_1)$

On prend alors p irréductible tel que $p|C(f_1g_1)$

Alors $\bar{f_1g_1}=\bar{0}$ dans $\frac{A}{(p)}[X]$

Or $\frac{A}{(p)}$ est un corps donc intègre, donc $\frac{A}{(p)}[X]$ aussi et $\bar{f_1}\bar{g_1}=\bar{0}$

Or, $\bar{f_1}=\bar{0}$ implique que $p|C(f_1)$ et donc que $f_1$ n'est pas primitif.

C'est ce dernier passage que je ne comprends pas "et donc que $f_1$ n'est pas primitif."

Merci !

re : éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:21

Posté par Camélia

Bonjour

Dire que p|C(f₁) c'est bien dire que C(f₁) n'est pas égal à 1, donc que f₁ n'est pas primitif.

re : éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:26

Posté par fusionfroide

Citation :
Dire que p|C(f1) c'est bien dire que C(f1) n'est pas égal à 1

C'est justement cela que je ne vois pas !

Pour la définition d'élément irréductible j'ai : p est irréductible si p=ab implique que a dans A* ou b dans A*

re : éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:26

Posté par fusionfroide

Oups, BONJOUR Camélia !

re : éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:29

Posté par Camélia

Tu ne l'as pas mis dans l'énoncé, mais
f primitif équivaut à C(f)=1 ce qui signifie que les coeff de f sont premiers entre eux.

re : éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:29

Posté par fusionfroide

ah oui quel idiot

Merci !

re : éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:40

Posté par fusionfroide

ok une dernière question

$\bar{f_1}=\bar{0}$ implique que $f_1 \in (p)$ donc que $p|f_1$

Quel est l'argument pour en déduire que $p|C(f_1)$ ?

Merci

re : éléments primitifs

Posté le 16-06-08 à 15:47

Posté par Camélia

p|f signifie f=pg avec g polynôme, donc tous les coefficients de f sont divisibles par p.

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