Forum : analyse :
exo Ulm : equa diff

Bonsoir : j'ai un ami qui a eu un exercice d'Ulm que le colleur n'a pas su corriger.
ça porte sur les equa diff.
On suppose qu'il existe une fonction f de [0,1] -> ₊ C² sur ]0,1[, vérifiant :
soit (E₀): y"=k/(y), y(0)=0 et y(1)=1. avec k une constante réelle.

1/ montrer que : k4/9
2/On suppose k dans ]0,4/9[. montrer qu'il existe pour assez petit f solution de : y"=k/((y+))
   En déduire qu'il existe une solution de E₀.
Cordialement.

Bonjour, hatimy.

Je sais démontrer que k est inférieur à 4/9, et que lorsque k appartient à [0,4/9], E_0 a effectivement une solution sans utiliser l'idée avec epsilon.
Je me contente de donner l'idée sans développer les calculs.

On multiplie les deux termes de E_0 par y' et on intègre:            
Donc:           donc      
On intègre, ce qui permet d'obtenir une expression de y.

Il reste à trouver une condition sur k pour qu'il existe a tel que y(1)=1.
Il ne faut pas oublier de remarquer que   y(1)-y(0) est supérieur à     ...

Ok merci perroquet pour ta solution.
Si jamais tu as idée de la solution de mes questions merci encore.

en fait avec ta méthode je pense qu'il faut exprimer le fait que (0..x)(dy/((4k(y)+a) est un homéomorphisme, non ?

La fonction intégrée étant positive ...

Bonjour,

suite de la résolution analytique de l'équation différentielle en page jointe : On trouve donc x(y).
La fonction réciproque y(x) peut être calculée analytiquement. En effet, après simplification, on arrive à une équation du troisième degré (l'inconnue étant Y définie en page jointe). Il est donc théoriquement possible de trouver la formule explicite y(x)=(Y(x))².
Mais, de toute façon, cette formule serait très compliquée et beaucoup trop volumineuse pour être écrite ici.
Ceci n'était d'ailleurs pas demandé dans le problème initialement posé et est ajouté uniquement pour information.

Remarque: La formule y(x) peut être écrite explicitement ainsi qu'il l'a été dit. Mais elle contient encore le paramètre (a).
Ce paramètre (a), qui dépend de k, est déterminé par la condition y(1)=1. Mais il ne peut pas être exprimé explicitement par une formule algébrique. En effet, l'équation (donnée en page jointe au message précédent) conduit à une équation de degré trop élevé pour être soluble autrement que par calcul numérique (ou peut-être par des fonctions spéciales).

Par une méthode un peu différente de JJa, j'arrive à presque la même solution.

Je trouve : x = 1/(6k²) (2kVy - a) * V(4kVy+a) + C

Soit un facteur a à coté de la réponse de JJa

Bonjour J-P,

tu as raison : je viens de vérifier.
Il y a eu une mauvaise écriture au niveau de l'intégration (troisième ligne) et la faute s'est répercutée sur toute la suite.
Du fait que le degré de l'équation qui lie (a) et (k) est maintenant plus faible, il devient théoriquement possible d'expliciter la formule donnant (a) en fonction de (k). Mais cette formule serait compliquée et volumineuse.
La page corrigée est jointe. En espérant qu'il n'y a pas d'autre faute...
Merci d'avoir signalé cette erreur.

JJa,

citation :
Merci d'avoir signalé cette erreur

Il n'y a pas qe quoi, je lis toujours tes interventions avec le plus grand intérêt.