examen analyse II

Posté par antoo antoo

Bonjour à tous,

voilà, je suis en train de retravailler mon sujet d'examen d'analyse mais il y a des questions que je n'arrive toujours pas à résoudre:

Exercice 1  
.Soit f une application continue à valeurs positives de [0,1] vers R. On suppose que f(0) = 3.
1) Montrer qu'il existe un intervalle fermé de la forme [0,n] avec n appartient à ]0,1[ sur lequel f(x)2.

2) en déduire que quand n

Exercice 2
calculer l'intégrale:

à l'aide du changement de variable t=ϕ(u) avec ϕ=tan

je trouve , est-ce juste ?

Exercice 3
Soit f:R R la fonction définie par f(x) = - x

1) effectuer un développement limité de f(x) à l'ordre 2 au voisinage de 1

je trouve f(x) = 1/2 (x-1)^2 + (x-1) + 1 + o((x-1)^2) , est-ce juste?

2) montrer que f admet une limite pour x et calculer cette limite

3) on pose g(x) = arctan(f(x))
justifier pourquoi g est dérivable sur R et calculer g'(x)

g est dérivable car c'est la composée de fonctions dérivables
je trouve g'(x)=   , est-ce juste?

je vous remercie de votre aide par avance.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Pour exo 1.

Comme f(0)=3 et comme f est continue au point 0, en prenant =1, on sait qu'il existe ]0,1[ tel que



ce qui ici veut dire f(x)2.

On a

ce qui règle l'exo 1.

Posté par antoo antoo

merci beaucoup  Camélia.

Pour le reste je suis arrivé à me débrouiller.