Tous les couples d’entiers naturel de pgcd 18 et de somme 360 ?

Posté par kimshi_78 kimshi_78

Bonjour, je fais cet exercice pour m'exercer :

Déterminer les couples d'entiers naturels
1) de pgcd 18 et de somme 360.
2) De même avec pgcd 18 et produit 6480.

Je possède aussi plus ou moins la correction :

Soient a et b des entiers naturels tel que pgcd(a,b)=18 et a+b=360
Soient a', b' les entiers naturels tq a=18a' et b=18b', a et b sont 1er entre eux et leurs somme est a'+b'=360/18=20

Et à partir de là la méthode utilisée par le correcteur ne me convient plus (la preuve c'est que vous verrez qu'il s'est lui-même trompé dans sa correction).

Soient a, b deux entiers de pgcd 18 et de somme 360. Soit

   Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d'entiers naturels (a', b')
(a' < ou = à b') qui vérifient cette condition, ce sont les couples :
(1, 20), (3, 17), (6, 14), (7, 13), (8, 12), (9, 11).
   Pour obtenir les couples (a, b) recherchés (a < ou = à b), il suffit de multiplier les
couples précédents par 18 :
(18, 360), (54, 306), (108, 252), (126, 234), (144, 216), (162, 198).

Il ne donne pas la correction du 2) mais c'est encore plus difficile d'énumérer tous les couples d'entiers naturels
Ainsi n'auriez vous pas une méthode moins instinctive à me proposer ?


*Si vous n'avez pas remarquez l'erreur ce sont les couples (6, 14) et (8, 12) dont les nombres sont divisibles par 2, donc ce ne sont pas des couples de nombres premiers entre eux et donc ces couples ne vérifient pas les conditions.

Posté par minkus minkus

Salut,

C'est pareil : d*a'*d*b'=6480 donc a'b'=6480/324=20

Donc on trouve facilement les couples (1;20) et (4;5).

Posté par minkus minkus

Et il y a en effet une erreur dans les couples de la question 1

Mais la méthode est bonne.

Posté par kimshi_78 kimshi_78

Merci, je m'étais trompé au 2) j'avais divisé par 18 au lieu de 324. Ça rend les chose plus simple, mais c'est donc la seul méthode possible à mon niveau :'(

Posté par minkus minkus

C'est un exercice de terminale et cette méthode simple est souvent utilisée

Posté par kimshi_78 kimshi_78

ok merci