matrices inversible

Posté par hatimy hatimy

Bonjour: Voilà un exercice sur des matrices inversibles.
Soit A et B dans Mn(Z) tel que : A + kB est dans Gln(Z) pour k dans [|0;2n|].
Calculer det(A) et det(B).
Cordialement.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Tu veux dire pour tous les k, ou il existe k dans l'intervalle?

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

Je peux me tromper, mais je dirais à première vue que :

Det(A) = Det(A+pB) = 1  pour tout p de Z

Idem pour Det(B)

Je me trompe ?

Posté par hatimy hatimy

Camélia >> c'est pour TOUS les k dans [|0;2n|]
Lyonnais >> je pense pas !

Posté par hatimy hatimy

lyonnais >> je pense que tu t'es dis que A^-1 est dans Mn(Z), mais je ne pense pas que Gln(Z) signifie que c'est le cas.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut tout le monde,


Euh ... ben ça signiferait quoi dans ce cas?

Posté par lyonnais lyonnais

hatimy >

Sauf erreur (et ça peut être le cas).

Pour k = 0, on a A dans Gln(Z) donc A est inversible et A^-1 est dans Mn(Z)

Et donc on peut montrer facilement l'équivalence :

M Mn(Z) est inversible ssi det(M) = 1

A confirmer/infirmer

Posté par hatimy hatimy

pour mon message de 18:04, une petite inattention : je voulais dire ce N'EST PAS LE CAS !
mais justement pourquoi est ce que A^-1 est dans Mn(Z)?
c'est un exo de PSI, ça doit se fa

Posté par hatimy hatimy

faire facilement !

Posté par hatimy hatimy

lyonnais >> Gln(Z) signifie que la matrice est à coefficients dans Z mais que A^-1 n'est pas forcément dans Mn(Z). On est bien d'accord ?

Posté par Camélia Camélia

Alors là c'est moi qui ne suis pas d'accord. GL_n(Z) est l'ensemble des matrices à coeff entiers, dont les inverses sont à coeff entiers, donc Romain a raison ce sont les matrices de determinant 1.

Je n'ai pas encore réfléchi à l'exo...

Posté par hatimy hatimy

merci camélia, je me suis donc trompé dans la définition... dans ce cas j'ai résolu l'exercice. Merci à tous !

Posté par Camélia Camélia

Eh, ne nous abandonne pas... C'est quoi la solution?

Posté par hatimy hatimy

c'est bon ok je ne vous abandonne pas !
en fait, j'ai posé : P(x) = det(A + xB), polynôme d'ordre n
pour 2n+1 valeurs il prend soit la valeur 1 ou -1. donc il existe au moins n+1 ou P prend la valeur 1 ou -1.
on va dire 1.
On peut poser la polynome Q(x) = P(x)-1 pour conclure qu'il est nul.
pour : det(A +xB)=1 => det(A/x+B)=1/xⁿ, puis x->+
nous permet de conclure.
donc c'est ça ma solution, je ne sais pas si elle est bonne ou pas

Posté par Camélia Camélia

Ca a l'air de marcher et c'est astucieux! Merci...

Posté par hatimy hatimy

on aurait donc pu généraliser l'exercice en prenant 2n+1 valeurs réelles quelconques, pour aboutir au même résultat.

Posté par hatimy hatimy

2n+1 valeurs quelconques de sorte que A+xB soit dans Gln(Z).

Posté par Camélia Camélia

Non, il falait que les valeurs en question soient entières...