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Loi d'une fonction de var et convolution
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posté le 17/06/2008 à 16:16Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3Bonjour à tous, voilà un exercice qui me pose soucis...
Alors, pour 1):
=P(Y\le y)=P(X^2\le y=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})=\Bigint_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x) dx.)
Donc:
=\frac{f(-\sqrt{y})+f(\sqrt{y})}{2\sqrt{y}}.1_{\{y>0\}} \\
)
Donc si
suit la loi )
:
=\frac{exp(-\frac{y}{2})}{\sqrt{2\pi.y}}.1_{\{y>0\}})
2)peut-on faire avec le produit de convolution et en s'appuyant sur ce qui précéde?
(on suppose ne pas connaitre la densité de la loi du
| citation : |
|---|
| Soit Soit 1)Démontrer que Expliciter ce résultat dans la cas particulier ou 2)Si justifier l'existence d'une densité pour la var 3)Meme question pour |
Alors, pour 1):
Donc:
Donc si
2)peut-on faire avec le produit de convolution et en s'appuyant sur ce qui précéde?
(on suppose ne pas connaitre la densité de la loi du
posté le 17/06/2008 à 16:22re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : 
lafol (Correcteur)Bonjour
pas si vite, la jeunesse !
y est choisi comment ? tu ne devrais pas distinguer le cas y négatif AVANT d'écrire sa racine ?
pas si vite, la jeunesse !
y est choisi comment ? tu ne devrais pas distinguer le cas y négatif AVANT d'écrire sa racine ?
posté le 17/06/2008 à 16:22re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3j'obtiens:
=\Bigint_R1_{\{x>0\}} \frac{exp(-\frac{x}{2})}{\sqrt{2\pi.x}}.1_{\{y-x>0\}}\frac{exp(-\frac{(y-x)}{2})}{\sqrt{2\pi.(y-x)}} dx.dy)
aprés faudrait faire un changement de variable bien pratique mais je vois pas lequel!
aprés faudrait faire un changement de variable bien pratique mais je vois pas lequel!
posté le 17/06/2008 à 16:23re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3Bonjour lafol
non mais
donc la variable
ne prend que des valeurs positives sauf erreur donc 
non mais
donc la variable
posté le 17/06/2008 à 16:25re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)donc tu peux commencer par =0)
si y<0, puis annoncer clairement : pour tout y positif, blablabla
posté le 17/06/2008 à 16:25re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3oui mais j'ai mis l'indicatrice
posté le 17/06/2008 à 16:27re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)je te chicanais surtout sur le "avant"
posté le 17/06/2008 à 16:28re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3| citation : |
|---|
| je te chicanais surtout sur le "avant" |
>
ok d'accord!
sinon ce que je fais c'est correct?
posté le 17/06/2008 à 16:29re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3petite rectification dans l'expression de )
, à la fin,c'est 
...et pas 
posté le 17/06/2008 à 16:33re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)sinon, je suis d'accord avec ton f_Y, oui
posté le 17/06/2008 à 16:39re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3ok d'accord.
as tu une idée pour mon ??
as tu une idée pour mon
posté le 17/06/2008 à 17:02re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3en fait j'ai écrit mais y'a pas de 
dans mon expression!!
j'ai donc=\Bigint_R 1_{[y>0]}\frac{exp(-\frac{y}{2})}{\sqrt{2\pi.y}}.1_{[z-y>0]}\frac{exp(-\frac{(z-y)}{2})}{\sqrt{2\pi(z-y)}} dy)
j'ai donc
posté le 17/06/2008 à 17:29re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3aprés avoir cogité un peu...
j'ai ceci:
=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{z}{2})\Bigint_0^z \frac{1}{\sqrt{y(z-y)}} dy)
j'ai ceci:
posté le 17/06/2008 à 17:35re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3si je pose y=zu,j'améliore les bornes de l'intégrale mais je sais pas si ça sert vraiment...
=\frac{1}{2\pi}.exp(-\frac{z}{2})\Bigint_0^1\frac{1}{\sqrt{u(1-u)}} du)
aprés bah je vois pas trop quoi faire!
aprés bah je vois pas trop quoi faire!
posté le 17/06/2008 à 17:56re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3quand je calcul ça à maple:
}} du=2.000000)
???
vous voyez pourquoi?
vous voyez pourquoi?
posté le 18/06/2008 à 12:25re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)c'est pour le calcul de l'intégrale ? multiplie haut et bas par 4, mets le contenu de la racine sous forme canonique, pose sin t = 1-2u, et ça doit s'arranger
posté le 18/06/2008 à 12:33re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3je cherche ça:
=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{z}{2})\Bigint_0^1 \frac{1}{\sqrt{u(1-u)}du)
tu me conseil de faire ça?
}} du)
puis de poser=u)
??
)
ça donne}{sin(t).\sqrt{\frac{1}{sin(t)}-1}} dt)
???
tu me conseil de faire ça?
puis de poser
ça donne
???
posté le 18/06/2008 à 12:34re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3ah non pardon,j'ai mal lu!
posté le 18/06/2008 à 12:38re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)des erreurs : multiplie par 2 (qui devient 4 sous la racine) :
}} du= \Bigint_0^{1} \frac{2}{\sqrt{4u(1-u)}} du = \Bigint_0^{1} \frac{2}{\sqrt{1-(2u-1)^2}} du)
puis pose sint = 2u-1
puis pose sint = 2u-1
posté le 18/06/2008 à 12:39re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)choisis bien l'intervalle de t pour que le cos reste positif et qu'on ait une bijection
posté le 18/06/2008 à 12:44re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3donc
donc
c'est ça??
posté le 18/06/2008 à 12:46re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3oula!!
bon j'avais pas lu tes 2derniers posts...
je recommence aprés
bon j'avais pas lu tes 2derniers posts...
je recommence aprés
posté le 18/06/2008 à 16:19re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)Alors si 2u-1 = sint, quand u = 0, sint = -1, donc t = ?
quand u = 1, sint = 1, donc t = ?
et tu as appris en classe de troisième (si, si !) une formule dite fondamentale de la trigo .... tu sais, avec des sin² et des cos² ...
quand u = 1, sint = 1, donc t = ?
et tu as appris en classe de troisième (si, si !) une formule dite fondamentale de la trigo .... tu sais, avec des sin² et des cos² ...
posté le 18/06/2008 à 18:35re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3donc
donc on retrouve une loi exponentielle de parametre (1/2)
il s'agit donc de la loi du
j'ai réussi la question 3 aussi...
je trouve
ça semble bien coller!!!
Merci encore une fois Lafol
posté le 18/06/2008 à 21:56re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)arrête de rougir tout le temps !
à la prochaine
à la prochaine
posté le 19/06/2008 à 09:37re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : stokastikLa primitive de 1/sqrt(u(1-u)) est connue non ? Arcsinus ou un truc du genre ?
Sinon une remarque, la fonction Bêta :=\int_0^1u^{c-1}(1-u)^{d-1}du)
. Ici tu as calculé )
. Tu peux donc trouver le résultat si tu connais l'expression de la fonction Bêta à l'aide de la fonction Gamma : =\Gamma(c)\Gamma(d)/\Gamma(c+d))
, et si tu sais que =1)
et =\sqrt{\pi})
.
Sinon une remarque, la fonction Bêta :
posté le 19/06/2008 à 10:56re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3| citation : |
|---|
| La primitive de 1/sqrt(u(1-u)) est connue non ? Arcsinus ou un truc du genre ? |
maple ne me le trouve pas donc,je crois pas que ce soit arcsin
merci pour la remarque avec la fonction Béta
posté le 19/06/2008 à 11:13re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)robby : le changement de variable que je t'ai fait faire prouve qu'une primitive est Arcsin(2u-1) , sisi !
posté le 19/06/2008 à 11:14re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3ah oué!! pfff
bah pourquoi maple il m'a pas aidé sur ce coup là??
(pfff ce logiciel aussi )
autant pour moi alors!
bah pourquoi maple il m'a pas aidé sur ce coup là??
(pfff ce logiciel aussi
)autant pour moi alors!
posté le 19/06/2008 à 11:29re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : lafol (Correcteur)un logiciel, ça ne réfléchit pas, toi, oui !
posté le 19/06/2008 à 11:31re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : robby3oué enfin sur ce coup là...j'ai pas trop trop réfléchis quand meme...
... posté le 19/06/2008 à 12:59re : Loi d'une fonction de var et convolution
posté par : stokastikCeci devrait fonctionner en Maple:
f:=u->1/sqrt(u*(1-u));
int(f(u),u=0..x);
f:=u->1/sqrt(u*(1-u));
int(f(u),u=0..x);
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