ideal engendre par deux elements distincts de l'anneau Z[X]

Posté par enoah enoah

bonjour a tous les membres de l'ile des mathematiques.
En travaillant,je suis arrive a l'exercice suivant
soit J={ Polynomes a coeff dans Z/ P'(0)est un element de 2Z}
1.(a) montrer que J est un ideal de Z[X]
  (b) montrer que J est engendre par les polynomes 2 et X
2. En remarquant que 2 est un element de J,montrer que l'hypothese 'J est un ideal principal de Z[X]' est absurde.

Je remercie d'avance tout ceux qui prendront la peine de m'aider et les pries d'excuser les probables fautes d'orthographe ainsi que la mauvaise presentation de mon message.

Posté par 1emeu 1emeu

bonjour,

je dis peut-être des bêtises, mais il me semble que J n'est pas un idéal de Z[X],
car 2X+1 est dans J, mais (2X+1)(X+1)=2X²+3X+1 n'est pas dedans...

Par contre, J'={ Polynomes a coeff dans Z/ P'(0) et P(0) sont des elements de 2Z} est un idéal.

Mais je raconte peut-être n'importe quoi... Mieux vaut attendre l'avis de quelqu'un de plus compétent.

Mais ca t'aide peut-etre quand meme

1emeu

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut,

1 a) Euh, légèrement évident. Si t'es pas convaincu, vérifie mais bon...
b) Je suis pas sûr de bien comprendre la question... J'espère qu'on te demande pas de prouver que (2,X)=J... parce que c'est faux! 2X+1 est bien un élément de J et pourtant...

Posté par 1emeu 1emeu

Ton énoncé ne serait-il pas plutôt :

soit J={ Polynomes a coeff dans Z/ P(0) et P'(0) sont des elements de 2Z}
1.(a) montrer que J est un ideal de Z[X]
  (b) montrer que J est engendre par les polynomes 2 et 2X
2. En remarquant que 2 est un element de J,montrer que l'hypothese 'J est un ideal principal de Z[X]' est absurde.

(j'ai changé la ligne 1 et la ligne 3)

1emeu

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ah, flûûûte, complètement grillé.
Et en plus même contre-exemple.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Effectivment, ce n'est même pas un idéal.