Anneau encore

Posté par anthony7788 anthony7788

Bonsoir à tous~~
Je n'ai pas bien compris les anneaus,est-ce que quelqu'un peut m'aide pour corriger l'exercice suivant?

Soit D=[5] et F=[5]
a).Montrer que X²+X-1 est irreductible dans D[X] mais n'est pas irrductible dans F[X].
b)Considerer l'ideal principal I=(X²+X-1)dans D[X].Est-il maximal? Est-il premier?
c)L'anneau quotient D[X]/(X²+X-1) est-il un anneau integre? Est-il un corps?

Merci d'avance~~

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut,

a) Les racines n'étant pas décimales... Mais les racines étant (-1+V(5))/2 et (-1-V(5))/2 ...
b) Soit A et B deux polynômes tels que AB soit dans c'te idéal. Alors AB=(X²+X-1)D. D'où il vient que X²+X-1|A ou B. et donc soit A soit B sont dans I.
I est premier.
Avec un peu de chance il sera même maximale, ça m'étonnerait pas mais faudrait approfondir tout ça.
c) Soit I est maximale dans ce cas c'est un corps, sinon c'est quand même un anneau intègre.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1


Oui bon enfin, tu auras compris ce que j'ai voulu dire...

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

L'idéal I engendré par X²+X-1 dans D[X] n'est pas premier.

En effet, alors qu'aucun des polynômes de degré 1 n'est dans I.

Désolée, Ayoub.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

En effet, au temps pour moi...
Merci d'être repassée derrière Camélia.

Posté par Camélia Camélia

ça arrive... En fait je me suis méfiée, parce que D n'est pas principal 4=2²=(5+1)(5-1) et que tu as utilisé un argument de type Gauss.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

En effet, c'est après coup que j'ai compris l'erreur dans mon post. Mais j'avoue que ça m'a pris un certain temps avant de comprendre que D n'était pas principal.
Merci encore.