Forum : probabilités :
probleme sur la loi de Paréto
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posté le 17/06/2008 à 19:06probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3Bonsoir tout le monde, voici un probleme sur la loi de Pareto... Quelques questions me posent problèmes...
La loi de Pareto, encore appelée loi de puissance est souvent utilisée pour modéliser les dépassements d'un seuil.
On dit que
suit une loi de Paréto )
avec 
si )
où 
suit une loi exponentielle )
a) Déterminer la fonction de répartition de
puis vérifier que sa densité de probabilité est donnée par =\frac{ab^a}{x^{a+1}}1_{\{x\ge b \}})
b) Pour
, calculer l'espérance et la variance de
c) Soit et 
2 var indépendantes de loi de Pareto )
et )
, 
Calculer la densité de probabilité du couple)
avec 
d) En déduire les lois marginales de
et 
e) Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes ?
f) A partir de et , calculer la covariance entre et et trouver l'ensemble des couples pour lesquels cette covariance est nulle.
==> Alors j'ai fait la a) et la b)
la c) mais je ne suis pas sur du résultat, je vous mets ce que j'ai et mon problème est à la question d)...
Voici ce que j'ai pour la c)...
suit la loi donc =\frac{a}{x^{a+1}} 1_{\{x\ge 1\}})
suit la loi donc =\frac{b}{y^{b+1}}.1_{\{y\ge 1\}})
Le |jacobien| vaut
.
mesurable positive :
\Big) &= \iint_{[1;+\infty[^2} \phi(u,v).\frac{a}{(\sqrt{uv})^{a+1}}. \frac{b}{(\sqrt{\frac{u}{v}})^{b+1}}. \frac{1}{2v} \mathrm du\mathrm dv \\ \\
&= \iint_{[1;+\infty[^2} \phi(u,v).\frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}. (\sqrt{v})^{a-b}.v}\mathrm du\mathrm dv \\
\end{align*})
Donc a pour densité :
}(u,v)= \frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}. (v)^{\frac{a-b}{2}+1}}. 1_{(u,v)\in [1;\infty[^2}(u,v))
Ensuite pour la question d), pour avoir la loi marginale de, j'intègre l'expression précédente par rapport à ...
 &=\int_1^{\infty} \frac{ab}{2}\frac{1}{(\sqrt{u})^{a+b+2}. (v)^{\frac{a-b}{2}+1}} \mathrm dv \\ \\
&= \frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}}. \int_1^{\infty} \frac{1}{(v)^{\frac{a-b}{2}+1}} \mathrm dv \\ \\
&= \frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}}.[\frac{-2v^{\frac{b-a}{2}}}{(a-b)}]_1^{\infty} \\
\end{align*})
le souci est de savoir si
est plus petit ou non que 1... Pour le souci en 
Merci d'avance de votre aide !
La loi de Pareto, encore appelée loi de puissance est souvent utilisée pour modéliser les dépassements d'un seuil.
On dit que
a) Déterminer la fonction de répartition de
b) Pour
c) Soit
Calculer la densité de probabilité du couple
d) En déduire les lois marginales de
e) Les variables aléatoires
f) A partir de
==> Alors j'ai fait la a) et la b)
la c) mais je ne suis pas sur du résultat, je vous mets ce que j'ai et mon problème est à la question d)...
Voici ce que j'ai pour la c)...
Le |jacobien| vaut
Donc
Ensuite pour la question d), pour avoir la loi marginale de
le souci est de savoir si
Merci d'avance de votre aide !
posté le 18/06/2008 à 10:53re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3quelqu'un pour me dire si c'est juste?
posté le 18/06/2008 à 16:30Re
posté par : thiblepriJe dirais plutôt qu'il faut se poser la question si a est plus petit ou plus grand que b c'est la condition pour que ça tende vers 0. Ma réponse est donc:
=)
+
si 
v)a+b+2*(a-b))" alt ="" />
+
si posté le 18/06/2008 à 16:33Désolé
posté par : thibleprifU(u)=
+ si
Et l'autre truc j'arrive pas à l'écrire. Ca correspond au calcul normal quoi désolé je ne suis pas encore un Dieu en LaTeX)
+
si Et l'autre truc j'arrive pas à l'écrire. Ca correspond au calcul normal quoi désolé je ne suis pas encore un Dieu en LaTeX)
posté le 18/06/2008 à 18:22re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILSalut Robby,
Pas entièrement d'accord avec toi pour la densité du couple (U,V). Je trouve la même expression que toi pour la fonction, que tu peux écrire de façon plus symétrique :
(u,v) = \frac{ab}{2 u^{\frac{a+b}{2}+1} v^{\frac{a-b}{2}+1}} I_D(u,v))
où)
désigne l'indicatrice du domaine D des (u,v), mais ce domaine n'est pas le rectangle que tu dis; à mon avis D est défini par : 1
u< et 1/u vu.
Les bornes des intégrales dans la suite de l'exo sont ainsi modifiées, ça devrait résoudre les soucis de convergence ...
Pas entièrement d'accord avec toi pour la densité du couple (U,V). Je trouve la même expression que toi pour la fonction, que tu peux écrire de façon plus symétrique :
où
u< et 1/u vu.Les bornes des intégrales dans la suite de l'exo sont ainsi modifiées, ça devrait résoudre les soucis de convergence ...
posté le 18/06/2008 à 18:39re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3salut PIL,
je ne comprend pas ton indicatrice ni ta définition du domaine D...
thiblepri>merci de ton aide meme si j'ai pas compris grand chose
je ne comprend pas ton indicatrice ni ta définition du domaine D...
thiblepri>merci de ton aide meme si j'ai pas compris grand chose
posté le 18/06/2008 à 18:49re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3comme 
par contre
?? pourquoi?
par contre
posté le 18/06/2008 à 19:09re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILOn a 1y, donc 1/y y donc x/y, xy, donc v u.
y, donc 1/y y donc x/y, xy, donc v u. posté le 18/06/2008 à 19:23re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3d'accord.
=\Bigint_{1}^{\infty} \frac{ab}{2u^{\frac{a+b}{2}+1}.v^{\frac{a-b}{2}+1}} dv \\
=\frac{ab}{2u^{\frac{a+b}{2}+1}}\Bigint_{\frac{1}{u}}^u \frac{1}{v^{\frac{a-b}{2}+1}} dv=\frac{ab}{(b-a).u^{\frac{a+b}{2}+1}}.[v^{-\frac{a-b}{2}}]_{\frac{1}{u}}^u=\frac{ab}{b-a}.\(u^{\frac{(b-a)}{2}}-1\).u^{-(b+1)})
qu'en penses tu PIL?
qu'en penses tu PIL?
posté le 18/06/2008 à 19:46re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILAprès ton dernier signe =, je trouve
 u^{\frac{a+b}{2}+1}} (u^{- \frac{a-b}{2}} - u^{\frac{a-b}{2}}) = ... = \frac{ab}{b-a} (\frac{1}{u^{a+1}} - \frac{1}{u^{b+1}}))
,
avec 1u<.
avec 1
u<. posté le 18/06/2008 à 20:06re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3ok,j'ai la meme chose
=\frac{ab}{2.v^{\frac{a-b}{2}+1} }\Bigint_1^{\infty} \frac{1}{u^{\frac{a+b}{2}+1}} du=\frac{ab}{2.v^{\frac{a-b}{2}+1}}.[\frac{u^{-\frac{a+b}{2}}}{-\frac{a+b}{2}}]_1^{\infty} =-\frac{ab}{(a+b).v^{\frac{a+b}{2}}})
donc et ne sont pas indépendantes
donc
posté le 18/06/2008 à 20:57re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3dans l'expression de 
j'ai oublié de préciser que 
j'ai ensuite:
}{(a-1)^2(a-2)} \\
)
 dx)
est-ce moi ou y'a un soucis selon que a>1 et a est compris entre 0 et 1.??
j'ai ensuite:
est-ce moi ou y'a un soucis selon que a>1 et a est compris entre 0 et 1.??
posté le 18/06/2008 à 22:20re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILNote que V = X/Y peut prendre n'importe quelle valeur v>0 et qu'il faut distinguer deux cas :
1) si o<v<1, on a 1/vu<; alors
 = \int_{1/v}^{\infty} ...du = ... = \frac{ab}{a+b} v^{b-1} ;)
2) si 1v<, on a vu<; alors
 = \int_{v}^{\infty} ...du = ... = \frac{ab}{a+b} \frac{1}{v^{a+1}} .)
1) si o<v<1, on a 1/v
u<; alors2) si 1
v<, on a vu<; alors posté le 18/06/2008 à 22:30re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3euh là, j'avoue ne pas comprendre...
pour moi là, u était entre 1 et
je comprend pas les distinguo avec les v...étant donné que
pour moi là, u était entre 1 et
je comprend pas les distinguo avec les v...étant donné que
posté le 18/06/2008 à 22:57re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILLe domaine D est une sorte de "triangle curviligne infini" dont le bord est
- en haut : la demi-droite v=u avec 1u<,
- en bas : la portion d'hyperbole v=1/u avec 1u<.
Donc quand tu intègres en u, tu fixes v, et les limites pour u ne sont pas les mêmes selon que v<1 ou v>1.
D'accord ?
Note que sans autre calcul on voit que U et V ne sont pas indépendantes ...
- en haut : la demi-droite v=u avec 1
u<,- en bas : la portion d'hyperbole v=1/u avec 1
u<.Donc quand tu intègres en u, tu fixes v, et les limites pour u ne sont pas les mêmes selon que v<1 ou v>1.
D'accord ?
Note que sans autre calcul on voit que U et V ne sont pas indépendantes ...
posté le 19/06/2008 à 11:12re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3je crois que j'ai saisi...c'est à cause de cette inégalité là 
??
sinon aprés,je trouve pareil...
par contre pour l'espérance, (hier à 20:57)...est-ce correct??
sinon aprés,je trouve pareil...
par contre pour l'espérance, (hier à 20:57)...est-ce correct??
posté le 19/06/2008 à 11:21re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3Comme 
et 
sont indépendantes,
as t-on que
?
alors dans ce cas(b-1)})
as t-on que
alors dans ce cas
posté le 19/06/2008 à 11:30re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3vu qu'on a deux types de densités pour la var V, comment faire pour calculer son espérance??
posté le 19/06/2008 à 12:13re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILSalut Robby,
C'est bon pour E(U) = E(XY) = E(X)E(Y) = ab/((a-1)(b-1)).
Pour E(V) tu écris
 = \int_0^1 \frac{ab}{a+b} v^b dv + \int_1^{\infty} \frac{ab}{a+b} \frac{1}{v^{a}} dv)
.
Je trouve E(V) = ab/((a-1)(b+1)).
C'est bon pour E(U) = E(XY) = E(X)E(Y) = ab/((a-1)(b-1)).
Pour E(V) tu écris
Je trouve E(V) = ab/((a-1)(b+1)).
posté le 19/06/2008 à 12:22re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3ah oui!!
d'accord!!!
donc
=E[UV]-E[U]E[V]=\frac{a-a^2(a-1)}{(a-1)^2(a-2)}-\frac{a^2b^2}{(a-1)^2(b-1)(b+1)})
c'est pas trés beau...
d'accord!!!
donc
c'est pas trés beau...
posté le 19/06/2008 à 12:24re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILPour E(UV) long calcul; j'ai trouvé E(UV) = ab/((a-2)b).
Existence : pour E(U) et E(V) il suffit que a>1,b>1; pour E(UV), c'est a>2, b>1 me semble-t-il.
Existence : pour E(U) et E(V) il suffit que a>1,b>1; pour E(UV), c'est a>2, b>1 me semble-t-il.
posté le 19/06/2008 à 12:30re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILJe trouve
 = \frac{ab}{(a-2)b} - \frac{(ab)^2}{(a-1)^2(b^2 -1)})
c'est pas vraiment plus beau ...
c'est pas vraiment plus beau ...
posté le 19/06/2008 à 12:34re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILTu as raison avec E(UV) = E(X2)! Je vais refaire mon calcul ...
posté le 19/06/2008 à 12:37re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3il faut regarder quand est-ce que ce truc là vaut 0...
alors évidemment:
y'a la solution triviale
alors évidemment:
y'a la solution triviale
posté le 19/06/2008 à 12:56re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILJ'ai refait mon calcul(trop long, j'ai utilisé la densité du couple (U,V) ...) et j'ai aussi utilisé ta remarque : je persiste à dire que E(UV) = a/(a-2) (je n'avais même pas vu la simplification par b dans 12:24 !).
Pour Cov(U,V) = 0, il me semble que b=a-1 suffit (note que a>2,b>1).
Pour Cov(U,V) = 0, il me semble que b=a-1 suffit (note que a>2,b>1).
posté le 19/06/2008 à 13:01re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3X suit la loi de Pareto de parametre a et 1.
=\frac{a}{x^{a+1}}.1_{[x\ge b]} \\
)
or+E[X]^2)
ok?
=\frac{a}{(a-1)^2(a-2)})
et=\frac{a}{a-1})
ok??
je comprend pas comment tu obtiens=E(X^2)=\frac{a}{a-2})
??
or
et
je comprend pas comment tu obtiens
posté le 19/06/2008 à 13:16re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILJe n'ai pas utilisé la variance mais fait le calcul direct :
 = \int_1^{\infty} x^2 \frac{a}{x^{a+1}} dx = ... = \frac{a}{a-2})
qu'en penses-tu ?
qu'en penses-tu ?
posté le 19/06/2008 à 13:39re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3j'en pense que tu as raison sur le calcul à condition que a>2...non?
posté le 19/06/2008 à 13:51re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3bon ton résultat semble plus correct que le mien, je te fais confiance
posté le 19/06/2008 à 14:08re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : PILC'est bien sympa de ta part de me faire confiance, ce serait mieux que tu sois sûr ...
Conditions sur a : a>0 pour que ce soit une densité de proba., a>1 pour que la moyenne existe, a>2 pour que la variance existe.
Conditions sur a : a>0 pour que ce soit une densité de proba., a>1 pour que la moyenne existe, a>2 pour que la variance existe.
posté le 19/06/2008 à 14:36re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : robby3| citation : |
|---|
| a>0 pour que ce soit une densité de proba., a>1 pour que la moyenne existe, a>2 pour que la variance existe. |
>oui!!
ça c'est ok.
Merci PIL.
posté le 25/06/2008 à 22:20re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : H_aldnoer 
Tig si tu passes par ici !
J'ai essayé ta méthode pour la question c) :
On prend \to (xy,\frac{x}{y}))
qui est un difféomorphisme, je ne sais pas par contre de quel ensemble dans quel ensembe.
Je prend une partie
mesurable de 
et je cherche \in A)=\Bigint_{A}g_{(U,V)}(u,v)dudv)
.
On a=h(X,Y))
.
Soit\in A)=\mathbb{P}((X,Y)\in h^{-1}(A)))
.
Help!
D'ou\in A)=\Bigint_{h^{-1}(A)}g_{(X,Y)}(x,y)dxdy=\Bigint_{A}g_{(X,Y)}(h(u,v))J_{h^{-1}}(u,v)dudv)
.
Mais je bloque sur le calcul de}(h(u,v))=g_{(X,Y)}(uv,\frac{u}{v}))
J'ai essayé ta méthode pour la question c) :
On prend
Je prend une partie
On a
Soit
Help!
D'ou
Mais je bloque sur le calcul de
posté le 25/06/2008 à 23:55re : loi de Rademacher et covariance
posté par : TigwegPour résumer, tu as fait une erreur dans l'intégrale, il faut remplacer le h de l'intégrande par h-1.
Ensuite le difféomorphisme va de R+*² dans lui-même.
Ensuite par indépendance de X et de Y,la densité jointe de (X,Y) est égale au produit des densités de X et Y, soit à
.
On remplace le couple (x,y) par=(\sqrt{uv};\sqrt{\fr uv}))
.
Enfin on multiplie ce résultat par l'inverse de la valeur absolue du jacobien de h, donc par y/(2x) = 1/(2v).
Le résultat est, sauf erreur, la densité du couple (U;V).
*** message déplacé ***
Ensuite le difféomorphisme va de R+*² dans lui-même.
Ensuite par indépendance de X et de Y,la densité jointe de (X,Y) est égale au produit des densités de X et Y, soit à
On remplace le couple (x,y) par
Enfin on multiplie ce résultat par l'inverse de la valeur absolue du jacobien de h, donc par y/(2x) = 1/(2v).
Le résultat est, sauf erreur, la densité du couple (U;V).
*** message déplacé ***
posté le 26/06/2008 à 00:42re : loi de Rademacher et covariance
posté par : H_aldnoer Rebonsoir Tig!
Alors j'ai corrigé la chose suivante :
\in%20A)=\Bigint_{A}g_{(X,Y)}(h^{-1}(u,v))J_{h^{-1}}(u,v)dudv)
Donc après je calcul le Jacobien, et la je trouve quelque chose de bizzare on dirait :
Je nomme=xy})
et =\frac{x}{y})
.
Voici mes dérivées partielles :
=y})
=\frac{1}{y}})
=x})
=\frac{-x}{y^2}})
Soit=\frac{\partial h_1}{\partial x}(x,y)\frac{\partial h_2}{\partial y}(x,y)-\frac{\partial h_2}{\partial x}(x,y)\frac{\partial h_1}{\partial y}(x,y)=\frac{-1-x}{y} \\
)
Ou est l'erreur ?
Merci encore de ton aide!
*** message déplacé ***
Alors j'ai corrigé la chose suivante :
Donc après je calcul le Jacobien, et la je trouve quelque chose de bizzare on dirait :
Je nomme
Voici mes dérivées partielles :
Soit
Ou est l'erreur ?
Merci encore de ton aide!
*** message déplacé ***
posté le 26/06/2008 à 00:53re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : TigwegTu as fait une simple erreur de calcul dans l'opération finale, on trouve bien 
posté le 26/06/2008 à 01:00re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : H_aldnoer Donc on trouve bien -2v et en module 2v d'ou \Large{J_{h^{-1}}(u,v)=\frac{1}{2v}.
Je retrouve bien l'expression de PIL(u,v)=\frac{ab}{2%20u^{\frac{a+b}{2}+1}%20v^{\frac{a-b}{2}+1}})
Mais je ne vois pas comment trouver=\;\mathbb{1}_{\sqrt{uv}\ge%201,%20\sqrt{\frac{u}{v}}\ge%201}(u,v))
Je retrouve bien l'expression de PIL
Mais je ne vois pas comment trouver
posté le 26/06/2008 à 01:12re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : TigwegQu'appelles-tu )
?
Je ne le vois nulle part écrit!
Je ne le vois nulle part écrit!
posté le 26/06/2008 à 01:20re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : H_aldnoer Oups!
C'est pour reprendre les notations de PIL le 18/06/2008 à 18:22 !
C'est pour reprendre les notations de PIL le 18/06/2008 à 18:22 !
posté le 26/06/2008 à 01:25re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : TigwegOui j'ai fini par voir.PAr contre que ne comprends-tu pas?
Il faut remplacer x et y partout, y compris dans l'indicatrice!
Donc ta formule tombe immédiatement.
Il faut remplacer x et y partout, y compris dans l'indicatrice!
Donc ta formule tombe immédiatement.
posté le 26/06/2008 à 01:35re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : TigwegDe plus on retombe bien sur la formule de PIL puisque pour u et v > 0 on a bien
, ce qui entraîne notamment que 
posté le 26/06/2008 à 01:37re : probleme sur la loi de Paréto
posté par : H_aldnoer Ca va aller pour ce soir, sinon je vais pas m'en sortir!
J'y réfléchis demain matin! Merci pour toute ton aide Tig, vraiment cool de travailler avec toi
J'y réfléchis demain matin! Merci pour toute ton aide Tig, vraiment cool de travailler avec toi
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