compacité et connexité par arcs des espaces projectifs

Citation :

Théorème: Les espaces projectifs réels ou complexes sont compacts et connexes par arcs.

démonstration: Considérons le cas réel. Chaque droite de a deux vecteurs directeurs unitaires qui ont leur extrémité sur la sphère de centre et de rayon .
On voit donc qu'en fait est l'image de , qui est compacte (car fermée et bornée).
Il suffit pour conclure de voir que l'espace projectif est séparé.
Soient et deux droites distinctes de qui coupent en et , et respectivement.
On peut trouver deux petits ouverts et de contenant et respectivement tels que les quatre ouverts ,, , soient disjoints,
en notant le symétrique de par rapport à .

Citation :
On voit donc qu'en fait est l'image de , qui est compacte (car fermée et bornée).