intersection deux coubes

Posté par lisette94 lisette94

bonjour,

Dans la figure attachée j'ai représenté en noire la courbe d'équation :
A*(B*y+C*x*y)-T=0 avec A,B,C et T des constantes
en bleue j'ai représenté plusieurs courbes d'équation pour différentes valeur de k :
((w*B*y+w*C*x*y)/(R*x^2+R*y^2+w*B*y+w*C*x*y))-k = 0 avec w,B,C etR des constantes.

Je cherche k tel que la courbe noire et l'une des courbes bleues n'ai qu'un seul point en commun.(point d intersection entre la courbe noire et rouge)
J'ai déjà égaliser les deux membres des équations mais le problème est que je me retrouve avec une équation et 2 variables (car x est lié à y par 600^2=x^2+y^2). J'ai les conditions suivantes :
-600<=x<=0 ; 0<=y<=600 et 0,5<k<1.

Je ne vois pas comment résoudre ce problème pouvez-vous m'aider ?

Posté par lisette94 lisette94

en faite je me suis trompée x et y ne sont pas relié par la relation précédente mais plutot la condition suivante : x^2+y^2<=600^2

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

je ne distingue pas trop les couleurs de tes courbes...

en revanche, vu la nature de tes courbes pour lesquelles tu recherches un seul point commun,
serait-i intéressant de s'intéresser au fait que les courbes sont tangentes en ce point ?

tu aurais alors une relation supplémentaire sur les dérivées...

A creuser peut-être ?

Posté par lisette94 lisette94

bonjour,

j'ai réfléchis aux tangentes. J'ai les équations de courbes sous la forme suivante :
f(x,y)=0 et gk(x,y)=0

pour la première courbe je peux facilement exprimer y en fonction de x mais pas pour la deuxième. normalement l'égalité de tangente au point a pour deux courbes y=h(x) et y=k(x) se traduit par h'(a)= k'(a). Cela équivaut-il à l'égalité des dérivés df/dx=dg/dx et df/dy=dg/dy pour mon cas ?

Posté par J-P J-P

Autre approche.

Il faut que le système suivant ait un seul couple de solutions réelles

A*(B*y+C*x*y)-T=0
(w*B*y+w*C*x*y)/(R*x^2+R*y^2+w*B*y+w*C*x*y))-k = 0

A*(B*y+C*x*y)-T=0
y(B+C*x)= T/A
y = T/[A.(B+Cx)]


w*B*y+w*C*x*y = k.(R*x^2+R*y^2+w*B*y+w*C*x*y)

w*y(B+C*x)(1-k) = k.R.(x^2+y^2)

w*T/[A.(B+Cx)]*(B+C*x)(1-k) = k.R.(x^2+[T/(A.(B+Cx))]^2)

w*T(1-k)/A = k.R.(x^2+[T/(A.(B+Cx))]^2)

w*T(1-k)/A = k.R.(x^2+[T²/(A².(B+Cx)²)])

w*T(1-k)*(A².(B+Cx)²) = A.k.R.(x^2*(B+Cx)²+T²)

w*T(1-k)*A.(B+Cx)² = k.R.(x^2*(B+Cx)²+T²)

Il faut donc que cette équation du 4ème degré ait une et une seule solution réelle...
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Calculs à vérifier ...

Posté par lisette94 lisette94

merci beaucoup l'équation est beaucoup plus simple maintenant avec mes conditions je vais tenter de trouver k et x.

Posté par lisette94 lisette94

je trouve bien l'équation du 4ème degrè suivante :

w*T(1-k)*A.(B+Cx)² = k.R.(x^2*(B+Cx)²*A^2+T²)

le problème c'est que j'ai deux variables réelles : x et k et que je connais juste leur intervalle -600<x<0 et 0<k<1.

je me suis dis alors si les deux membres sont égaux alors leur dérivées par rapport a x doivent etre égale (respectivement pour k) mais ai-je le droit ? Y-a-t'il une méthode à appliquer dans mon cas ?

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

deux fonctions égales n'implique pas leurs dérivées égales

prends le cas de f(x)=x et g(x)=-x en x=0 : elles y sont égales leur dérivées y sont opposées...

Posté par J-P J-P

w*T(1-k)*A.(B+Cx)² = k.R.(x^2*(B+Cx)²*A²+T²)

f(x) = w*T(1-k)*A.(B+Cx)² - k.R.(x^2*(B+Cx)²*A²+T²)

f '(x) = 2.C.w*T(1-k)*A.(B+Cx) - kR(2x(B+Cx)²A² + 2C.x²(B+Cx).A²)

f '(x) = (B+Cx).[2.C.w*T(1-k)*A - kR(2x(B+Cx)A² + 2C.x².A²)]

On peut donc facilement trouver les 3 solutions de f '(x) = 0 (dont 2 dépendent de k)

Si il y a une seule racine réelle à l'équation w*T(1-k)*A.(B+Cx)² = k.R.(x^2*(B+Cx)²*A²+T²), ce ne peut être qu'à un extremum de f(x) et on doit avoir pour cette valeur de x, la fonction f qui s'annule.

Il faut alors encore vérifier si les valeurs de f pour les 2 autres extrema sont de même signe que la lim(x->+oo) de f(x) ...
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Bref, ce devrait être assez facile si on connait les valeurs numériques des constantes w, T, A, B et C et R, mais est asser lourd si on essaie de traiter le problème en trainant ces constantes de manière littérale.

Sauf distraction ou erreur de raisonnement.