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Exercice Défi (1) => Phénomène de Runge (Séries de fonctions)

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C'est pas véritablement de mon niveau, mais j'arrive à montrer (c'est un résultat classique, mais je m'en contente ) que pour un x donné dans I, il existe un tel que :

Je continue à chercher.

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J'ai essayé une récurrence sur m, et j'arrive très bien a faire l'initialisation
Je veux bien une indication, même si c'est pas sur que ca m'aide

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Ecrire sous la forme : et raisonner sur le degré et les racines de .

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.

Je pose

Comme , on a .
De plus, , Q s'annule ainsi en valeurs, et peut donc se factoriser par , car

Or, , je peux donc déterminer les coefficients. J'ai le système :
On obtient finalement , et

Ainsi, , et comme

On a bien :

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Je suis allé chercher midi à quatorze heures pour la 2), je suis passé par une comparaison série intégrale, j'aboutis au résultat, et je me rends alors compte qu'il y a beaucoup plus simple



A l'aide de la formule de Stirling, j'aboutis facilement au résultat, après simplifications :

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Bien vu, c'est ca. Prepare-toi maintenant à ce qui reste, c'est le but de l'exercice en fait, cela veut dire que c'est le plus difficile

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En ce qui concerne la difficulté, tu parlais de la question 3), ou de la fin de le 2) ?
Parce que je suis en train de me casser les dents pour trouver un équivalent pour

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Euh..., je ne sais pas, parce qu'il se peut que tu sèches sur quelque chose estimé facile et que tu trouves facile des choses que les autres trouvent difficiles (tant mieux ), alors quand je dis difficile, c'est général un peu, mais, on verra pour la suite Arkhnor , après tout, je te félicite car tu es le seul à vouloir relever le défi

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Est-ce que ?

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Ecrire sous forme d'une somme ...qu'est-ce-qu'on retrouve en divisant cette somme par ? (bonne chance, je suis sûr que tu peux resoudre :smiley

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J'etais pas completement à coté de la plaque, j'avais bien pensé à transformer ce produit en somme, mais après, j'etais parti dans une comparaison série-intégrale qui ne menait a rien, car je trouvait un équivalent de , et je n'avais pas le droit de composer avec l'exponentielle.

A priori, en divisant par m, ca ressemble à une moyenne, ca me fait penser à du Cesaro.

Je vais y réflechir

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Une somme de Riemann

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Je ne suis vraiment pas sur de mon coup, est-ce que :

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Pourquoi tu es si pressé ? écris moi tout d'abord comment t'as fait, qu'elles sont les méthodes que tu as utilisé? (pour trouver un rédultat pareil, il faut comme même faire des calculs n'est ce pas ?

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Voila ou j'en suis pour l'instant :

On a que , qui est une somme de Riemann de la fonction sur l'intervalle [0;1].

On a aussi

Si j'arrive à montrer que , alors c'est gagné, car je pourrai composer avec l'exponentielle, et trouver un équivalent de . (j'ai vérifié cette proposition numériquement pour quelques valeurs de a, ca me semble vrai)

J'ai une petite idée pour montrer ca, mais ca reste assez léger.

Est-ce que je suis sur la bonne piste ?

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Qu'est ce qu'on peut dire de où est une fonction de classe et sa somme de Riemann attachée à une subdivision équirépartie ?

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Si je me souviens bien, on a que :



C'est un argument dans cette idée la que je pensais, mais je n'en suis pas bien sur.

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Sa limite est ?

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1)
On a
variant dans .
Calculons.



On a ainsi

à comparer avec
Ce sont tous les deux des polynômes (en x) de degré 2m et qui admettent les x_k et x'_k pour racines (soit exactement 2m racines).
De plus ils prennent la même valeur (1) en ai, donc ils sont égaux

CQFD


Bon, j'avoue, j'ai vu l'indication, mais je n'ai pas regardé les autres blankés, et puis c'était en fait assez naturel de multiplier par x²+a² puis de comparer les polynômes, je pense que si je n'avais pas vu l'indication j'y aurais pensé quand même.

Je regarde pour la suite

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Sa limite est zéro, non ?
(Je ne regarde pas le blanké de Fractal, qui a du répondre à tout )

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Tant mieux pour toi et bravo !

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Voilà ! c'est ca, bien joué (essaye maintenant de continuer), et ne t'en fais pas, il a juste fait la 1ère question

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Je pose

On a

Par continuité de la fonction exponentielle en 0, on a donc :

Or, , avec

Ainsi,

Et, donc,

Ca me semble un peu hatif, car je trouve aussi une valeur pour la constante (C = 1), donc je continue à y réflechir, j'ai peut-etre expédié un peu trop vite une conclusion.

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Tu veux dire que : ?

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Oui, c'est ca, mais ca me semble faux.
Pourtant, je n'arrive pas à detecter mon erreur ...

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Pourquoi tu trouves que c'est faux ?

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En fait, ce qui m'inquiètes, c'est la constante C, je trouve directement sa valeur (C=1), alors que dans l'énoncé, il est seulement demandé de prouver son existence. (j'ai sa valeur, qui peut le plus peut le moins, bien sur, mais ca me semble louche ^^)
La valeur de me semble correcte, après quelques vérifications numériques.

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C'est juste ! .
Maintenant, il ne te reste qu'une chose ! montrer que l'expression donné dans le message de 16:17 tend vers 0 (c'est ca la difficulté de l'exo)

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Il me semble que j'ai cette propriété démontrée dans mon cours.
Je crois qu'elle est démontrée pour les formules de quadrature de manière générale.

Je vais tenter de m'en souvenir sans la regarder

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c'est bon ! Je pense que ce n'est pas la peine de rédiger la demonstration ici puisque c'est dans ton cours !

Par contre, Je t'invites à faire la synthèse de l'exo en rédigeant la question 3)

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C'est une suite géométrique de raison

Un simple calcul de limite donne

Ainsi, par définition de la limite, pour a suffisamment petit, la raison de la suite est supérieure à 1.

Ainsi, pour a suffisamment petit, .

Or, .

Par comparaison, on a bien :



On a bien démontré que la suite de polynomes de Lagrange ne converge pas toujours uniformément vers la fonction interpolée.