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Algèbre linéaire: noyau d'une application

Bonjour

Dans un exercice d'algèbre linéaire, on doit écrire la matrice de f dans la base canonique; cela j'ai réussi à le faire :



ensuite pour trouver le noyau de cette application je pose le système :




Le problème, c'est que je ne comprend pas la correction qui serais que le noyau serais engendré par la droite vectorielle de base n :



Pourriez vous m'expliqué la résolution de ce système ?

Merci

Bonjour
première ligne : z = 3y ou y = z/3
deuxième ligne : z = 4x ou x = z/4
dernière ligne -z + z = 0 toujours vrai

donc les triplets (x,y,z) sont de la forme (z/4 , z/3 , z) , ou encore (z/12)(3,4,12) = (z/12)n

Bonjour

la première équation donne z=3y, la deuxième z=4x, donc 3y=4x et la troisième est forcément vérifiée.

Les éléments du noyau sont donc de la forme (z/4, z/3, z) avec z quelconque. Plutôt que de prendre comme générateur (1/4,1/3,1) qui est pas beau, on peut aussi bien prendre (pour z=12) (3,4,12), qui est mieux. mais n'importe quel vecteur non nul de cette forme convient.

Bonjour lafol

salut camélia

Bonjour lailanie,

ta matrice est de rang 2 puisque de déterminant nul et possédant au moins une sous-matrice inversible de format (2;2).
Il en résulte, d'après le théorème du rang, que son noyau est de dimension 1.
Le noyau de l'application linéaire associée a donc aussi 1 pour dimension.

Plus concrètement, dans ton système de trois équations à 3 inconnues, la 3è ligne est combinaison linéaire des deux premières, donc est inutile.

Si on fixe x n'importe comment dans les deux premières, par exemple x=3 (mais ce n'est pas la seule possibilité), on trouve aussitôt une valeur et une seule pour chacune des variables y et z.

Pour x=3, on trouve y=4 et z=12, d'où le vecteur n.

n est un vecteur non nul du noyau, et le noyau est de dimension 1:
c'est donc une base du noyau.

Bonjour lafol et Camélia

Salut Tigweg

salut p'titgreg

Merci merci merci pour votre aide , j'ai compris !!!!!

pour ma part, avec plaisir

Pour la mienne également!