Forum : analyse :
Fonction strict. croissante -> injective?

Bonjour,

une fonction strictement croissante est elle bien forcèment injective ?? (càd qu'il existe au plus un antécédent)

merki

Oui

Bonjour

Oui, bien sur. Si x y, par exemple x < y, on a f(x) < f(y) donc f(x) f(y).

Merci bcp

Attention, lorsque tu parles de fonctions strictement croissantes il ne faut pas oublier de parler de sa continuité !!! Je sais que ça peut paraître évident mais on peut très vite tomber dans un piège...
ex: exponentielle est strictement croissante et continue sur IR donc injective sur IR mais la fonction inverse n'est pas continue sur IR (elle l'est sur ]-infini,0[ et sur ]0,+infini[) donc pour x<y avec x<0 et y>0 on n'a pas f(x)<f(y) mais f(x)>f(y). Il faut séparer les cas: on dit que 1/x est injective sur l'un et l'autre de ses intervalles où elle est continue.

ce n'est pas la continuité qui est importante c'est que la fonction soit strictement croissante sur tout le domaine considéré.
La fonction

n'est pas strictement croissante sur privé de 0 puisque et est plus grand que .
De manière imagée, il y a un grand saut décroissant de à dans la monotonie, en passant .

la fonction est tout de même injective sur privé de 0 mais pas parce qu'elle est croissante puisqu'elle ne l'est pas.

Pour tout x et y privé de 0 si on a bien .
C'est la définition de l'injectivité.

Bonsoir,

il est vrai que je me suis mal exprimé, je suis tout à fait d'accord avec la rectification qu'apaugam a ajouté. Mais il est tout de même question "d'intervalle de stricte croissance" si j'ose dire ... qui sont souvent définis par la continuité de la fonction et sa dérivabilité pour les variations.

ps: le résultat reste vrai pour une fonction strictement décroissante, on parle donc de fonction strictement monotone sur un intervalle.

Bonsoir
ne mélangeons pas tout
c'est vrai qu'en terminale on parle de fonctions continues strictement monotones d'un intervalle vers son image qui sont bijectives, sans trop chercher à discerner quelle hypothèse sert à quelle partie de la conclusion

l'injectivité provient de la stricte monotonie
(qui n'est cependant pas nécessaire, comme l'a bien montré apaugam)

la surjectivité provient de la continuité via le th des valeurs intermédiaires
(là encore non nécessaire, voir par exemple f définie de [0 ; 1] vers [0;1] par f(x) = 2x si x inférieur ou égal à 1/2, et f(x) = 2x -1 si x > 1/2. elle est surjective bien que discontinue en 1/2)