recherche d'extrémas d'une fonction

Forums

» » » »

recherche d'extrémas d'une fonction

Posté le 18-06-08 à 20:45

Posté par romu

Bonsoir,

je souhaite déterminer les extrémas sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction définie par $f(x,y)=(x-y)e^{xy}$ .

Je commence à chercher les points critiques, ie les points de $a=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2$ tels que $df(a)=0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ .

Il est clair que $f$ est $C^1$ (et même $C^{\infty}$ ) sur $\mathbb{R}^2$ .

Je trouve que pour tout $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ , $\partial_1 f(x,y) = e^{xy}(1+yx-y^2)$ et $\partial_2 f(x,y) = (x^2-yx-1)$ .

Soit $a=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2$ . Soit $h=(h_1,h_2)\in \mathbb{R}^2$ ,

on a $df(a).h = h_1 \partial_1 f(a_1,a_2) + h_2 \partial_2 f(a_1,a_2) = e^{a_1 a_2} \[(1+a_2 a_1 - a_2^2)h_1 + (a_1^2-a_2 a_1 - 1)h_2\]$ ,

là je ne vois pour quelles valeurs de $a_1$ , $a_2$ on a $df(a)=0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ .

Merci pour votre aide.

re : recherche d'extrémas d'une fonction

Posté le 18-06-08 à 21:43

Posté par lafol

Bonjour
la différentielle est une forme linéaire, nulle si ses coeff le sont.
ce ne sera pas grâce à l'expo, il te reste à résoudre

1 + xy - y² = 0
x²- xy - 1 = 0

par somme, tu as déjà x = plus ou moins y
en reportant dans les équations, ça donne des trinômes, ça se résout, non ?

re : recherche d'extrémas d'une fonction

Posté le 21-06-08 à 12:48

Posté par romu

d'accord, du coup je trouve deux points critiques : $\pm (\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

merci lafol

re : recherche d'extrémas d'une fonction

Posté le 23-06-08 à 14:29

Posté par romu

Pour le premier point critique, $A=(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

J'ai déterminé la matrice Hessienne de $f$ au point $A$ ,

$3$\textrm{Hess}_f(A) = $\array{ -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} & 3 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2}\\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} }$$ ,

et la forme quadratique associée:

pour tout $h=(h_1,h_2)\in \mathbb{R}^2$ ,

$3$ Q_A(h) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2}h_1^2 + 3\sqrt{2} e^{-2} h_1 h_2 - \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2}h_2^2$ .

En appliquant l'algorithme de Gauss, j'en arrive à la mettre sous cette forme:

$3$ Q_A(h) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} (h_1-3h_2)^2 \leq 0$ ,

j'en déduis que $Q_A$ est négative mais pas définie.

Là je ne vois pas comment pousser plus loin la recherche afin de voir si $f$ admet un maximum local en ce point.

re : recherche d'extrémas d'une fonction

Posté le 23-06-08 à 14:36

Posté par lafol

Bonjour
compare $f(\fr{\sqrt{2}}{2}+h;-\fr{\sqrt{2}}{2}+h)$ avec $f(\fr{\sqrt{2}}{2};-\fr{\sqrt{2}}{2})$

re : recherche d'extrémas d'une fonction

Posté le 23-06-08 à 14:58

Posté par romu

ah oui effectivement ce n'est pas un maximum local,

merci lafol

re : recherche d'extrémas d'une fonction

Posté le 23-06-08 à 14:59

Posté par lafol

avec plaisir

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster

Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
7 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.