Forum : algèbre :
Réduction des endomorphismes

Salut tout le monde,

Je bloque COMPLETEMENT sur l'exercice suivant (j'estime difficile ) :


Pour tout couple , montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

i) , et ont le même polynôme caractéristique .

ii) est nilpotente et


C'est un exo que j'ai rencontré aujourd'hui en preparant l'oral, mais malheureusement je n'ai ni solutions, ni indications entre mes mains, alors pouvez vous s'il vous plait m'aider à resoudre.
MERCI   

Salut

Je note , et les endomorphismes associés à A, B et M.

Voici une idée :

On montre qu'on peut écrire et (matrices par blocs) où F est une base de Cⁿ dont les rg(A)-premiers vecteurs forment une base de

Ainsi AM et AM+B sont semblables aux matrices par blocs et

Ainsi et

Ainsi

D'après Cayley-Hamilton, il faut et il suffit donc de prouver que Y est nilpotente.

Or :


La nilpotente de Y équivaut donc à la nilpotence de B.
CQFD

Au passage, la condition BA=0 intervient pour montrer la nullité de B sur les rg(A)-premiers vecteurs de F.