developpement limité de ln

Posté par simone555 simone555

bonjour,

J'aurai voulu savoir si le DL de ln(x) en 1 à l'ordre 2 est bien:

[-(x-1)²/2] + x - 1

Merci d'avance

Posté par J-P J-P

Il faut préciser que le DL est cherché aux alentours d'une valeur donnée de x.

Le DL proposé est pour les alentours de x = 1

La série entière est :

ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)^4/4 + ... + (-1)^(n+1) * [(x-1)^n]/n + ...

Cette série (entière) converge dans l'intervalle ]0 ; 2]
-----
Souvent, on préfère exprimer le développement de ln(1+x) aux alentours de x=0 qui est:

ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... + (-1)^(n+1) * (x^n)/n + ...
Série qui converge pour x dans ]-1 ; 1]

Et donc DL à l'ordre 2 de ln(1+x) aux alentours de x=0 :
x - x²/2 + 0(x²)
-----
Sauf distraction.

Posté par mikayaou mikayaou

salut J-P

ne ne comprends pas, pourquoi ne dit-on pas que le DL de ln(x) en 1 est

ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + o( (x-1)² ) ?

ce qui me gêne c'est l'apparition des monômes x² dans les (x-1)^n suivants...

tu peux détailler, stp ?

Posté par J-P J-P



C'est probablement pourquoi on préfère exprimer de développement de ln(x+1) en x = 0 plutôt que celui de ln(x) en x = 1.

Je n'ai pas d'objection à écrire ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + o( (x-1)² )

Mais je ne sais pas si c'est l'usage...

Ce ne sont jamais que des questions de conventions et habitudes.
Celles-ci changeant de pays à pays et étant modifiées à tour de bras toutes les quelques années, je ne sais pas trop où on en est aujourd'hui à 13h14 dans nos régions.

Posté par mikayaou mikayaou

en fait, c'est pour répondre à la question posée du DL de ln(x) en x=1

si on représente ln(x) et qu'on désire son approximation en x=1, c'est :

y = (x-1)-(x-1)²/2 soit

y = -x²/2 + 2x -3/2

qu'il faut donner, non ?

comme le montre cette représentation :

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Le développement de ln(x) au voisinage de 1 à l'ordre 2 est bien

(x-1)-(x-1)²/2 +o(x-1)²

par simple application de la formule de Taylor :ln(1)=0, ln'(1)=1, ln"(1)=-1

Posté par mikayaou mikayaou

merci Camélia

Posté par Camélia Camélia

... échange de bons procédés!

Posté par mikayaou mikayaou

étonnant de voir la qualité de l'approximation au d° 3



Une question de béotien

il doit être certain que la courbe verte (^3) est plus proche de la rouge (lnx) au voisinage de 1

En revanche, elle semble s'en éloigner plus vite que la bleue, pour x>1

est-ce tjs le cas ?

Posté par mikayaou mikayaou

ma question n'est pas claire

je reformule

on se doute que le DL va approximer la courbe en une abscisse donnée

on peut donc penser que le DL à l'ordre n+1 sera plus proche de la courbe que celui à l'ordre n au voisinage de l'abscisse donnée,

mais également ce DL(n+1) sera plus proche que DL(n) le plus éloigné possible de cette abscisse

est-ce une fausse idée ? l'exemple ci-dessus semble le montrer...

est-ce généralisable ? pour toutes les fonctions ? ça se démontre ?

merci

Posté par Camélia Camélia

D'une certaine manière oui... La différence entre la vraie fonction et l'approximation d'ordre n est "en (x-a)ⁿ". tant que x-a est plus petit que 1, (x-a)ⁿ < (x-a)^n-1
mais dès que l'on s'éloigne, la différence en (x-a)ⁿ croit très vite. De plus, ici on est avec une série de rayon 1...

Ton dessin est très instructif, on a souvent du mal à faire comprendre qu'un DL donne une approximation seulement sur un "petit" voisinage. Comme les calculs de majoration d'erreur sont passés de mode, il est bon de voir un tel dessin.

Quelque chose me chagrine néanmoins dans ta f₃



et comme f'''(1)=2, il y a un x³/3

Posté par mikayaou mikayaou

le DL est en (x-1)^3/3 et non sur 6, non ?

Posté par mikayaou mikayaou

j'ai dit une bétise, je crois

Posté par Camélia Camélia

Si on applique bêtement la forrmule de Taylor c'est

En revanche pour le comportement lointain, ai-je été assez claire?

Posté par mikayaou mikayaou

oui c'est clair

d'autant que le dessin faux faisait penser à un mauvais raisonnement

avec le bon, la verte est bien plus proche que la bleue

Posté par mikayaou mikayaou

donc, même en s'éloignant, la verte reste quand même plus proche que la bleue qui s'en éloigne la première de la rouge (lnx)

Posté par Camélia Camélia

Tant que l'on est près, la verte est plus proche, dès qu'on a dépassé la distance 1, l'écart s'inverse.

Posté par mikayaou mikayaou

merci Camélia

tu peux "vulgariser" cette notion de distance 1 ? en lien avec la notion de "rayon=1" que tu évoquais ?

bien sûr je pourrais me replonger dans un cours, mais si tu savais "le faire sentir", avec des notions simples ?

Posté par Camélia Camélia

On voit peut-être mieux ici:

Posté par mikayaou mikayaou

posts croisés, Camélia