Forum : probabilités :
Examen de probabilités, L3 mathématiques.

Bonjour,

Voici les énoncés des 2 exercices qui me posent problème:

Exercice1

Soient X₁ ,...,X_n des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre >0.

1) Calculer la loi de max_{i=1...n} X_i
2) Calculer la loi de min_{i=1...n} X_i

Je ne vois pas du tout comment procéder. Est ce qu'on fixe X_i comme étant le max et on intègre par rapport aux n-1 autres variables en utilisant l'indépendance.

Exerice 2

Soient X₁, X₂, des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson ₁, ₂

1) Calculer la loi de X₁+X₂
2) Calculer la loi conditionnelle de X_{1[sub/] sachant X[sub]1}+X₂


Pour la question 1 je n'ai pas eu de soucis:
Poisson(₁+ ₂)

Pour la question 2 j'utilise la formule des probas conditionneslles: Mais je n'identifie aucune loi connue.. je m'attendais a avoir une binomiale.

Je vous remercie d'avance.

Bonsoir,

EX.1 1) On pose Y = max{X_i ; i=1...n}, on note F la fonction de répartition de chaque X_i [ donc F(X) = 1 - e^-x] et G la fonction de répartition de Y . On peut calculer G :
G(y) = P[Yy] = P[X₁y, ..., X_ny] = indépendance des X_i=... =  (F(y))ⁿ = ... et la densité g(y) par dérivation ...

Pour l'ex.2 c'est bien la loi de X₁ sachant X₁ + X₂ que tu cherches ?

Ex.2 2) : je trouve en effet une loi binomiale :



où

Pour l'exercice 2 cela confirme ce que j'avais trouvé. J'avais simplement oublié de mettre sous le meme exposant ₁ et ₁+₁.

Pour l'exercice 1 j'aurais jamais pensé a faire ca. Mais ca m'a l'air d'être la bonne piste. Jvais faire le calcul et je reviens. Merci beaucoup PIL (j'ai vu tes réponses sur d'autres topics en proba et j'en attendais pas moins de toi! )

Merci encore

Je trouve pour la loi du max que Y suit une loi ayant pour densité Avec 1|R+ la fonction caractéristique de R+

Je n'ai pas vérifier que l'integrale sur R+ valait 1 tout simplement parce que je ne savais pas le faire.

Merci

Salut,

Juste un détail : d_Y(y) = ...(1-e^-y)^n-1, tu as un de trop !
Inutile de vérifier par calcul que c'est une densité, c'est la dérivée d'une fonction de répartition.
Pour Z = min{X_i ; i = 1,...,n} tu peux utiliser le même principe : calculer d'abord la fonction de répartition.
Bon travail !

Oui bien sur je suis d'accord pour le en trop! (erreur de frappe!)

Bon je commence à comprendre l'utilité de cette fonction de répartition.
Voici le calcul que j'ai effectué pour la loi du min!



Ainsi la loi de Z est
ce qui est donc une loi exponentielle de parametre

Je pense que c'est la bonne réponse..

Je bloque à nouveau sur deux exercices.

Voici l'énoncé du 1er exercice.

Soit une suite de variables aléatoires independantes de Bernoulli de paramètre .
Pour tout on note puis

1) Pour tout quelle est la loi de
2) A quelle condition sur et tels que les variables aléatoires sont elles indépendantes?
3) Calculer . Calculer
4) Montrer qu'il existe une constante C telle que pour tout ,
5) Démontrer que la suite converge en probabilité vers une constante à préciser.


Pour la première question 1) je trouve que suit une loi de Bernoulli de paramètre

2) Il suffit que

3) Je ne sais pas si et sont indépendants.
Faut-il que je considère deux cas? Dans le cas où elles ne sont pas indépendantes je ne vois pas comment faire.

(Suite) j'ai la formule

J'ai pensé que est défini sur à valeurs dans {}. Mais je pense que je me complique la tache par cette méthode. Une piste comme pour l'exercice précedent m'aiderait beaucoup.

Merci PIL

Calcul de E(Y_nY_m): tu as vu que si n+1< m les va sont indépendantes; le seul autre cas est n+1 = m puisque n<m par hypo. Alors  Y_nY_m = Y_nY_n+1 = U_n(U_n+1²) U_n+2 , dont tu trouves facilement la loi.
Que signifie "calculer S_n/n " ?  dois-tu trouver la loi de S_n/n ?

Non pas du tout j'ai C'est l'esperance de .
Je vais suivre tes instructions pour .Merci

A tte a l'heure!

Je dois être une chèvre mais


Le problème c'est que avec une loi continue je sors l'artillerie avec changement de variable etc.. Mais pour les lois discretes je comprends pas..

En fait j'ai trouvé l'astuce de dire que comme et que je connais la variance je retrouve facilement le résultat.
Mais j'aimerais avoir une méthode plus générale..

Sinon pour le reste de l'exercice pour le calcul de
j'utilise la linéarité de l'espérance pour sortir et trouver . Je ne suis pas sur du résultat..

ton post de 18:09 : le calcul de E(X²) se fait directement :
- cas discret : E(X²) = x² p_x
- cas absolument continu : E(X²) = x² f(x) dx.
Ici on a d'ailleurs   U_n+1² = U_n+1, regarde les valeurs possibles et les proba. ...
Dans tous les cas E(U_n+1²) =  p  et  E(Y_nY_n+1) = p³.

D'accord avec toi pour E(S_n/n) = p².
Ensuite tu calculeras Var(S_n) avec  ta formule de 18:11.

Bonsoir Mr PIL,

Je doute que tu puisses me répondre avant d'aller me coucher mais je commence à avoir certains automatismes dans la résolution des exercices.
Pour en revenir à la variance de

Je trouve que

En effet pour le calcul de j'ai utiliser la linéarité de l'esperance en disant que :

(cf post de 19:25)

donc

Par contre je ne vois pas comment je peut montrer que avec C constante et bien sûr l'inégalité étant vrai pour tout n.

Après je pense qu'il faut utiliser Markov et obtenir ainsi la convergence presque sure?

  Bonne nuit PIL

Bonjour,

D'accord avec E(S_n²) = E(Y_iY_j).
Attention avec le calcul de E(Y_iY_j) ; tu dois distinguer 3 cas :
1)  E(Y_i²),
2)  E(Y_iY_i+1),
3)  E(Y_iY_j)  avec i+1 < j,
(il faut bien que ce que tu as fait précédemment serve à quelque chose ...).
Et n'oublie pas le carré dans E(S_n²) - E(S_n)² !

Bonjour!

En effet oui j'ai raccourci un peu le calcul.. je vais corriger ca.

Merci

Bon je pense obtenir quelque chose de cohérent.


Si je ne me suis pas encore planté dans le calcul.. ca doit être ca.

Et donc ma constante serait

Encore quelques erreurs :

1) La somme des E(Y_iY_i+1) n'a que n-1 termes:


2) La somme des E(Y_iY_j), avec i+1 < j ,  a  (n-2)(n-1)/2  termes, et chaque terme vaut p⁴ puisqu'alors les va Y_i et Y_j  sont indépendantes.

Donc en définitif je trouve après correction:

Cependant je n'ai pas l'idée pour trouver la minoration. Et surtout je ne vois pas a elle sert.

D'accord avec ton résultat pour E(S_n²).
Tu calculeras ensuite Var(S_n); tu vas constater que les termes en n² se détruisent, ce qui te montrera que Var(S_n) est  < Cn avec C = cst.
Tu passes ensuite à S_n/n; tu connais  E(S_n/n) = p²  et tu calculeras Var(S_n/n).
Tu dois montrer que S_n/n  converge en probabilité vers une constante, c'est à dire qu'il existe une constante K telle que, quel que soit > 0, on a



lorsque n.
Demande-toi d'abord quelle peut être cette constante K et utilise ensuite une inégalité où tu pourras appliquer la majoration précédente ...
Bon travail !

Du fait que

Ainsi avec

j'obtiens l'inégalité suivante:


Et comme

J'obtiens la convergence presque sûre !

MERCI MERCI et encore MERCI. Mieux qu'une correction tu m'a permis de résoudre un problème type et de mettre en relief les lacunes que j'avais dans cette matière. Mon examen est a la fin de la semaine, je te tiendrais au courant de la façon dont ca c'est passé.
Bonne soirée

Bien joué !
J'aimerais bien savoir d'où provient cet exercice, si c'est d'un problème "concret"; le sais-tu ?
Tout de bon pour la suite !

Une remarque concernant ton post de 19:33  : il s'agit de la convergence en probabilité !

Bonjour PIL,

Oui, au temps pour moi, c'est la convergence en probabilité.
Cet exercice provient de l'examen de probabilité du 9 JUIN 2008, 1ère Session pour les L3 de mathématiques à l'Université Lyon1.