Forum : algèbre :
Élément inversible dans un hyperplan d'une algèbre

Bonjour

Il est bien connu que tout hyperplan de contient une matrice inversible, mais cela peut-il être généralisé à toute algèbre?

En d'autres termes, si A est une algèbre (associative, unitaire) et H un hyperplan de A, est-ce que H contient forcément un élément inversible?

Merci

Fractal

Bon, en fait    est une R-algèbre et {(0,a) | a réel} un hyperplan qui ne contient pas d'élément inversible.
Raté ^^
Mais sinon, est-ce que a quelque chose de particulier qui lui confère cette propriété?

Fractal

Non. typiquement, dans le cas des algèbre comutative c'est meme exactement le contraire, l'ensemble des elements non inversible est exactement une réunion d'hyperplan.

Oki, donc ça règle le cas commutatif
Mais justement n'est pas commutative, donc est-ce qu'en supposant juste en plus A non commutative le résultat précité serait vrai, ou bien existe-t-il encore des contre exemples?

Fractal

au fait... Salut ! ^^



Pour etre plus précis, si H est une C-algèbre de Banach comutative, il existe des morphismes d'algèbres H->C, l'ensemble de ses morphismes est noté Spec(H), l'un des résultat essentielle et qu'un element x est inversible si et seulement si pour tous f dans Spec(H) f(x) est non nul,

ou bien existe-t-il encore des contre exemples >>> oui surement, je dirait qu'il suffirait de prendre une algèbre qui est "presque comutative" (qui contiens un grosse sous algèbre comutative peut-etre... ou encore qui aurait un quotiens abélien assez gros)