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Probabilités

Posté le 21-06-08 à 00:43

Posté par Alex715

Bonsoir,
j'aurai une question sur un problème assez proche de celui qui a été posé récemment sur cette page

Soient X1,…, Xn n variables aléatoires indépendantes de même loi dont on connaît la fonction de répartition et la densité.
Si on pose Y1=min{i=1...n} Xi et Y2=max{i=1...n} Xi,
comment trouver la fonction de répartition du couple (Y1, Y2) ?
merci de votre aide

Edit Coll : balises

re : Probabilités

Posté le 21-06-08 à 09:07

Posté par Alex715

apparemment c'est écrit de la déduire en calculant P(Y1>x, Y2<y)…

re : Probabilités

Posté le 21-06-08 à 14:58

Posté par Nicolas_75

Bonjour,

Merci de donner l'énoncé complet et précis, au mot près.

Soit $3$F$ la fonction de répartition des $3$X_i$

Essayons de démontrer l'indice...

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\ge x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = \mathbb{P}\left(\min_{1\le i\le n}X_i\ge x\mathrm{\ et\ }\max_{1\le i\le n}X_i\le y\right)$

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\ge x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = \mathbb{P}\left(\forall i\in|[1;n]|,X_i\ge x\mathrm{\ et\ }\forall i\in|[1;n]|,X_i\le y\right)$

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\ge x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = \mathbb{P}\left(\forall i\in|[1;n]|,x\le X_i\le y\right)$

Or les $3$X_i$ sont indépendants, donc :

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\ge x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = \Bigprod_{1\le i\le n}\mathbb{P}\left(x\le X_i\le y\right)$

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\ge x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = \left(\mathbb{P}\left(x\le X_i\le y\right)\right)^n$

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\ge x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = \left(F(y)-F(x)\right)^n$

Sauf erreur.

Nicolas

re : Probabilités

Posté le 21-06-08 à 19:49

Posté par Alex715

je suis désolé pour l'énoncé, d'habitude je fais très attention à ce genre de chose, c'est pour ça que je l'ai rajouté ce matin.

La formule a l'air correcte.
Pour la suite, je ne sais pas comment retrouver la fonction de répartition du couple à partir de ça.

re : Probabilités

Posté le 21-06-08 à 23:01

Posté par Nicolas_75

On cherche $3$\mathbb{P}\left(Y_1\le x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right)$

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\le x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = \mathbb{P}\left(Y_2\le y\right) - \mathbb{P}\left(Y_1\ge x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right)$

$3$\mathbb{P}\left(Y_1\le x\mathrm{\ et\ }Y_2\le y\right) = F(y) - \left(F(y)-F(x)\right)^n$

Sauf erreur !

re : Probabilités

Posté le 21-06-08 à 23:22

Posté par Alex715

merci beaucoup Nicolas !

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