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Définition : séries de Taylor, séries entière

Bonjour,

je voudrais une précision sur les séries de fonctions. Pour qu'une fonction soit développable en série entière, j'ai une définition qui dit qu'il faut que la fonction f soit indéfiniement dérivable sur l'intervalle de convergence, et que ses dérivées successives soient bornées.

1- série entière, c'est la même chose que la série de Taylor ?
2- comment démontre-t-on que la fonction f est indéfiniement dérivable sur l'intervalle de convergence, et que ses dérivées successives sont bornées ?
3- Ne faut-il pas en plus comme condition nécessaire et suffisante que le rayon de convergence soit infini (et donc que la série converge) ?

Merci

Bonjour

Série entière ou série de Taylor c'est la même chose. Il faudrait préciser si les fonctions sont réelles ou complexes.

En fait l'idée est la suivante:

On considère la série et on regarde si son rayon de convergence est non nul. Pour les fonctions complexes, si ce rayon est R (éventuellement infini) la fonction coïncide avec la somme de cette série sur le disque de centre a et de rayon R.

Dans le cas réel, la situation est plus compliquée: la fonction définie sur R^* par et par f(0)=0, est indéfiniment dérivable, pour tout n on a , (borné), le rayon de la série de Taylor est donc infini, mais la somme de cette série est nulle, donc pas égale à f.

Ne faut-il pas alors que le rayon soit infini sans que la série converge forcément ? Mais ça, c'est pas possible, quand un rayon de convergence est infini, la série converge toujours !?

Par définition le rayon détermine l'endroit ou la série converge. Dire que le rayon est (au point a) c'est dire que la série de Taylor est absolument convergente pour |x-a|< et divergente pour |x-a|>.